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强连通缩点模板
双连通缩点模板
- 边双连通
- 点双连通

有向图

我们知道在一张 有向无环 图（也叫 DAG）中，肯定存在拓扑序。拓扑序的特殊顺序性质，能够允许我们在 O(n+m)O(n + m)O(n+m) 遍历这张图，还可以在图上用 dp 处理问题。

但大部分给的 有向图 都不是 DAG，用 Tarjan 算法，我们可以尝试转化，把环缩成点 —— 强连通分量。

在任意一个强连通分量中，内部的点两两之间都可以通过有向边到达。

预处理缩点的时间是 O(n+m)O(n + m)O(n+m)

无向图

无向图本身两点之间就可以成环，所以没有环的说法。

分为两种：

边的双连通分量
点的双连通分量

在任意一个边双连通分量中，删去任意一条边不会使图不连通。

在任意一个点双连通分量中，删去任意一个点不会使图不连通；

双连通缩点后的图都长得像一棵树

强连通缩点模板

针对有向图

int h[N], rh[N], e[M], re[N], ne[M], idx;
void add(int h[], int a, int b) {e[idx] = b, re[idx] = a, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

// Tarjan模板int dfn[N], low[N], tim;
int stk[N], top;
bool v[N];
int scc_cnt, id[N], siz[N];
//分量个数，属于哪个分量，分量大小void tarjan(int x) {dfn[x] = low[x] = ++tim;stk[++top] = x;v[x] = true;for (int i = h[x]; ~i; i = ne[i]) {int j = e[i];if (!dfn[j]) {tarjan(j);low[x] = min(low[x], low[j]);}else if (v[j])low[x] = min(low[x], dfn[j]);//也在栈中}if (dfn[x] == low[x]) {int y;scc_cnt++;do{y = stk[top--];v[y] = false;id[y] = scc_cnt;siz[scc_cnt]++;} while (y != x);}
}

 for (int i = 1; i <= n; i++)if (!dfn[i])tarjan(i);

 //缩点后重建图模板，去重unordered_map<ll, int> mp;for (int i = 0; i < idx; i++) {int b = e[i], a = re[i];//二维压成一维ll hash = a * N + b;if (id[b] != id[a] && !mp.count(hash)) {mp[hash] = 1;add(rh, a, b);}}

 //按拓扑序遍历图，直接反向遍历scc_cnt即可，无需记录入度for (int i = scc_cnt; i; i--) {//起点初始for (int g = rh[i]; ~g; g = ne[g]) {int j = e[g];//维护信息}}

双连通缩点模板

针对无向图

边双连通

int dfn[N], low[N], tim;
int stk[N], top;
bool is_bridge[M];
int dcc_cnt, id[N], siz[N];
//分量个数，属于哪个分量，分量大小void tarjan(int x, int from) {dfn[x] = low[x] = ++tim;stk[++top] = x;//双连通不需要维护 vfor (int i = h[x]; ~i; i = ne[i]) {int j = e[i];if (!dfn[j]) {tarjan(j, i);low[x] = min(low[x], low[j]);//记录桥if (dfn[x] < low[j])is_bridge[i] = is_bridge[i ^ 1] = true;}else if (i != (from ^ 1))low[x] = min(low[x], dfn[j]);//防止跟父节点更新就行}if (dfn[x] == low[x]) {int y;dcc_cnt++;do{y = stk[top--];id[y] = dcc_cnt;} while (y != x);}
}

点双连通

记录起来较为麻烦，需要特判根节点。

int dfn[N], low[N], tim;
int stk[N], top;
int dcc_cnt, root;
vector<int> dcc[N];//存储每个分量里有哪些点
bool cut[N];//记录割点void tarjan(int x) {dfn[x] = low[x] = ++tim;stk[++top] = x;if (x == root && h[x] == -1) { //如果只有单独一个点dcc_cnt++;//单独一个分量dcc[dcc_cnt].push_back(x);return;}int cnt = 0;//记录该点连接的割点个数for (int i = h[x]; ~i; i = ne[i]) {int j = e[i];if (!dfn[j]) {tarjan(j);low[x] = min(low[x], low[j]);if (dfn[x] <= low[j]) { cnt++;if (x != root || cnt > 1)cut[x] = true;//不是根节点时，因为肯定存在父节点，删去 x 分离了父节点与子节点//是根节点时，就要保证有两个子节点连到 x 上//这样才能说明 x 是割点dcc_cnt++;int y;do{y = stk[top--];dcc[dcc_cnt].push_back(y);} while (y != j);//到 j 就停止！dcc[dcc_cnt].push_back(x);//割点也放入//所以点双连通分量是有交集的}}else low[x] = min(low[x], dfn[j]);//点双连通可以随意取min}
}

 for (root = 1; root <= n; root++)if (!dfn[root])tarjan(root);

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