蓝桥杯--矩阵翻硬币

历届试题矩阵翻硬币

时间限制：1.0s 内存限制：256.0MB

问题描述

小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

　　随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

　　对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。

　　其中i和j为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从1开始。

　　当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

　　小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小M寻求帮助。

　　聪明的小M告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次Q操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

输入格式

输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。

输出格式

输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

样例输入

2 3

样例输出

数据规模和约定

对于10%的数据，n、m <= 10^3；
　　对于20%的数据，n、m <= 10^7；
　　对于40%的数据，n、m <= 10^15；
　　对于10%的数据，n、m <= 10^1000（10的1000次方）。

分析：1、首先，看到数据的规模，肯定不能先建立一个二维表格，再对每一个硬币进行Q 操作

2、没有头绪的情况下，看了别人的解法

3、从整体来看，一个硬币只有被翻了奇数次，最终状态才会与最初状态不同

4、一个位置的硬币怎样才能被翻奇数次呢？我们先看一维的情况下，一个1 * 9 的情形，在第一个位置的

时候，只有位置1的硬币进行Q操作(没有列操作)，才能将1位置的硬币进行翻一次，2位置硬币根据Q 操作(没有列操作)，位置1和2的硬币根据Q操作(没有列操作)，能将2位置的硬币进行翻两次， 3位置的硬币可以被翻两次.......也就是说位置x，只有x的约数根据Q操作，才能到达x位置

位置 1 2 3 4 5 6 7 8 9
被翻次数 1 2 2 3 2 4 2 4 3

可以看出，1、4、9位置的硬币被翻了奇数次，1、4、9他们的约数的个数都是奇数个，那么什么样的数，他们的约数才有奇数个那？答案是完全平方数（证明在后面）。

5、从1到n，有几个平方数就有几个我们要找的硬币数，即（int）sqrt（n）个，

数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
个数 1 1 1 2 2 2 2 2 3

6、现在考虑一下二维N*M的情况，在P（x，y）位置，在纵坐标y不变的情况下，x有几个约数，就有几个（记为s1个）位置的硬币可以根据Q操作到达位置P，同理，在横坐标x不变情况下，y有几个约数就有几个（记为s2个）位置的硬币根据Q操作到达P位置，s1*s2必须为奇数才能为我们要找的，即s 1 和 s2 都得为奇数，即要在满足一维的情况下，才能满足二维。那么总的个数就是sqrt（N）* sqrt（ M）个

7、再然后就是大数问题了

证明：只有平方数有奇数个约数

充分性
1.n=1时正约数1个，是奇数
2.n>1时
n^2的约数:1...n...n^2
1和n之间每多一个约数，例如m，那么n到n^2之间就会多一个约数n^2/m
就是说除了这三个约数，其他的约数是成对出现的，也就是说约数的个数
是3+偶数，结果必为奇数

必要性：
1.如果一个数的公约数是1和他本身，那它就是质数，肯定不是完全平方数
2.如果一个数m的公约数是1和他本身m，还有其他的公约数,我们设其中一个数为p，那么必定存在一个约数m/p
也就是说公约数是成对出现的，除非这两个数相等，也就是同一个数，否则公约数的个数就肯定是偶数

所以p是m的完全平方根时，公约数个数是奇数，
p不是m的完全平方根时，公约数个数是偶数。

证明来自 http://wenda.so.com/q/1365463972067750?src=180

# include <iostream>
# include <string>
# include <math.h>using namespace std;string str_mul(string a,string b)
{string result="";int len1=a.length();int len2=b.length();int i,j;int num[500]={0};for(i=0;i<len1;i++)for(j=0;j<len2;j++){num[len1-1+len2-1-i-j]=num[len1-1+len2-1-i-j]+(a[i]-'0')*(b[j]-'0');}for(i=0;i<len1+len2;i++){num[i+1]=num[i+1]+num[i]/10;num[i]=num[i]%10;}for(i=len1+len2-1;i>=0;i--){if(num[i]!=0)break;}for(;i>=0;i--){result=result+(char)(num[i]+'0');}return result;
}
int strCmp(string a,string b,int pos)
{int i;if(a.length()+pos>b.length())return 1;if(a.length()+pos<b.length())return 0;if(a.length()+pos==b.length()){for(i=0;i<a.length();i++){if(a[i]<b[i])return 0;if(a[i]==b[i])continue;if(a[i]>b[i])return 1;}}
}
string str_sqrt(string a)
{string result="";int i;int len=a.length();if(len%2==0)len=len/2;elselen=len/2+1;for(i=0;i<len;i++){result=result+'0';while(strCmp(str_mul(result,result),a,2*(len-1-i))!=1){if(result[i]==':')break;result[i]++;}result[i]--;}return result;
}
int main(void)
{
//  freopen("in.txt","r",stdin);string n,m;cin >> n >> m;cout << str_mul(str_sqrt(n),str_sqrt(m))<<endl;return 0;
}

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