等比数列等差数列求和

2024-05-10 02:35:10

参考：https://zh.wikipedia.org/wiki/等比数列
参考：https://zh.wikipedia.org/wiki/等差数列
参考：https://baike.baidu.com/item/等比数列

(Owed by: 春夜喜雨 http://blog.csdn.net/chunyexiyu)

等比数列求和，等差数列求和：是平常做汇总统计计算用的比较多的两种情况。最近做计算时，用到了等比数列，忙活了一番，找到了相关的公式和推导过程，赶紧记录下来，便于以后查阅。

等比数列，指前后数值之间，存在稳定的比例关系。
等差数列，指前后数值之间，存在稳定的差值关系。

等比数列：

定义：
等比数列，又称几何数列。是一种特殊数列。它的特点是：从第二项起，每一项与前一项的比都是一个常数。
q = a_n+1 / a_n

例如：1, 1/4, 1/16, 1/64, …，前后值存在稳定的比值关系q=1/4

求和：
S_n = a₁+a₂+…+a_n

推导：
根据值的特点，
qS_n = qa₁ + qa₂+…+q*a_n = a₂ + a₃ + … + a_n+1

两个式子相减：Sn - qSn = (1-q) * Sn = a₁ - a_n+1
所以：Sn = (a₁ - a_n+1) / (1 - q)
把a_n+1 = qⁿ a1带入公式

结论：Sn = a₁(1 - qⁿ) / (1 - q)
当-1<q<1，q非0，n->无穷大时，Sn = a1 / (1 - q)

等差数列：

定义：
等差数列中，任何相邻两项的差相等，该差值称为公差 (数学)。
d = a_n+1 - a_n

例如：1, 3, 5, 7, …，前后值存在稳定的比值关系d=2

求和：
S_n = a₁+a₂+…+a_n

推导：
S_n = a₁ + (a₁ + d) + … + (a₁ + (n-1)d)
S_n = (a_n - (n-1)d) + … + (a_n - d) + a_n
两式子相加
2S_n = na₁ + na_n = n(a₁+a_n)

结论：S_n = n(a₁ + a_n) / 2
一个等差数列的和等于其首项与末项的和乘以项数除以2。

把a_n = a₁ + (n-1)*d 带入
S_n = n(2a₁ + (n-1)d) / 2

(Owed by: 春夜喜雨 http://blog.csdn.net/chunyexiyu)

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