关于K倍区间问题的神仙做法所记的笔记

问题描述

给定一个长度为N的数列，A1, A2, … AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, … Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。
　　你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？
输入格式
　　第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)
输出格式
　　输出一个整数，代表K倍区间的数目。
样例输入
5 2
1
2
3
4
5
样例输出
6
数据规模和约定
　　峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
　　CPU消耗 < 2000ms

大佬思路

首先统计前缀和sum[i] 表示A1+A2+…+Ai.所以对于任意一段区间[l,r]的和就是sum[r]-sum[l-1].如果要保证这个区间和为K倍数就是：(sum[r]-sum[l-1])%k == 0.变形后就是：sum[r]%k==sum[l-1]%k，所以我们计算前缀和的时候顺带模K，然后统计前缀和中相同的数据就行了。复杂度O(n).注意数据可能会溢出。

我的笔记（关于处理数据的）：

举个例子，假设前缀和中相同的数据只有一组，且个数为4个，那么这4个相同的数a,b,c,d，就有6种不同的组合方式即6种不同的区间（3+2+1=6），而实际前缀和数组中显然有多组不同的数据，我们要做的就是把每一组数据可能的组合方式求出来。最后，在求解过程中不可忽略的一点是，余数等于0的情况，即该区间本身就是K的倍数；如，前缀和数组里面有4个0，我们除了要计算这4个0的组合方式，还要计算0的个数，因为每个0所代表的，就是第i个数到第0个数之间的这个区间为K的倍数。

神仙代码：

typedef long long ll;
ll a[100100];
ll bk[100100];int main(){ll n,k;cin>>n>>k;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];}a[0]=0;for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=(a[i]+a[i-1])%k;}int ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){ans+=bk[a[i]];//如果有4个一样的数，那么在这条语句中就是+0+1+2+3bk[a[i]]++;}cout<<ans+bk[0];//0的组合方式已经在上面计算完毕了，现在要做的就是加上本身就是K的倍数的区间个数，0的个数。return 0;
}