文章目录

一、课本概念及公式
- 3.1 平面图及其平面嵌入
- - 平面图的定义
- 3.2 平面图欧拉公式
- - 公式
- 3.3 极大平面图
- - 面的次数和桥的概念
  - 平面图的各个面的边数和与边满足的关系
  - 推论3.1
  - 推论3.2
  - 极大平面图定义
  - 定理3.3，极大平面图的充要条件
  - 推论3.3(极大平面图的充要条件公式表达)和定理3.4
- 3.4 平面图的充要条件
- - 证明k3,3不是平面图
  - 同胚的概念
  - 定理3.5，G是平面图的充要条件
  - G的初等收缩概念
  - 图的厚度估计式

一、课本概念及公式

3.1 平面图及其平面嵌入

平面图的定义

3.2 平面图欧拉公式

公式

3.3 极大平面图

面的次数和桥的概念

平面图的各个面的边数和与边满足的关系

即：∑i=1ϕd(fi)=2ε\sum_{i=1}^{\phi} d\left(f_{i}\right)=2 \varepsilon∑i=1ϕd(fi)=2ε

推论3.1

证明：

若非连通图时，可以分成多个连通片，有：

推论3.2

证明：
由：{ε⩽3ν−6∑v∈V(G)d(v)=2ε∑v∈V(G)d(v)⩾δν由：\left\{\begin{array}{c} \varepsilon \leqslant 3\nu-6 \\ \sum_{v \in V(G)} d(v)=2 \varepsilon \\ \sum_{v \in V(G)} d(v) \geqslant \delta \nu \end{array}\right.由：⎩⎨⎧ε⩽3ν−6∑v∈V(G)d(v)=2ε∑v∈V(G)d(v)⩾δν

得：δν⩽2ε⩽2(3ν−6)δ⩽6−12ν得：\begin{aligned} \delta \nu & \leqslant 2 \varepsilon \leqslant 2(3 \nu-6) \\ \delta & \leqslant 6-\frac{12}{\nu} \end{aligned}得：δνδ⩽2ε⩽2(3ν−6)⩽6−ν12

极大平面图定义

定理3.3，极大平面图的充要条件

证明：
充分性，即证若存在G的平面嵌入G`的每个面都是三角形，则G是极大平面图：
{d(f)=3① ∑f∈F(G)d(f)=2ε② ν−ε+ϕ=2③ \left\{\begin{array}{l}d(f)=3 \quad \text { ① } \\ \sum_{f \in F(G)} d(f)=2 \varepsilon \text { ② } \\ \nu-\varepsilon+\phi=2 \text{ ③ } \end{array}\right.⎩⎨⎧d(f)=3 ① ∑f∈F(G)d(f)=2ε ② ν−ε+ϕ=2 ③

联立①②得：3ϕ=2ε3 \phi=2 \varepsilon3ϕ=2ε

代入③消去φ得：ε=3ν−6\varepsilon=3 \nu-6ε=3ν−6

由推论3.1知 ε⩽3ν−6\varepsilon \leqslant 3 \nu-6ε⩽3ν−6，故边已经达到上界，故G是极大平面图

必要性，即证G是极大平面图，则G的平面嵌入G`的每个面都是三角形：

推论3.3(极大平面图的充要条件公式表达)和定理3.4

3.4 平面图的充要条件

证明k3,3不是平面图

反证法：

{d(f)⩾4①∑d(f)=2ε②\left\{\begin{array}{l}d(f) \geqslant 4 \quad \text{ \ \ \ \ \ \ \ ①} \\ \sum d(f)=2 \varepsilon \text{ \ \ \ \ ②} \end{array}\right.{d(f)⩾4 ①∑d(f)=2ε ②

得：4ϕ⩽18,ϕ⩽44 \phi \leqslant 18, \phi \leqslant 44ϕ⩽18,ϕ⩽4

再结合ε=9,ν=6\varepsilon=9, \nu=6ε=9,ν=6 和 ν−ε+ϕ=2\nu-\varepsilon+\phi=2ν−ε+ϕ=2 得：6−9+4⩾26-9+4 \geqslant 26−9+4⩾2

推出矛盾，故k3,3不是平面图。

同胚的概念

定理3.5，G是平面图的充要条件

一般使用定理的下面这个形式来证明某个图不是平面图（将其收缩成K5或K3,3）

G的初等收缩概念

图的厚度估计式

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