介绍

傅里叶变换是数学中最深刻的见解之一，但不幸的是，它的意义被埋在一些荒谬的方程中。傅里叶变换是一种把东西分解成正弦波的方法。这个名字来自一个数学家叫傅里叶。

在数学术语中，傅里叶变换是一种将信号转换成其组成成分和频率的技术。

傅里叶变换不仅广泛应用于信号(无线电、声学等)处理，而且广泛应用于图像分析等领域。边缘检测、图像滤波、图像重建和图像压缩。一个例子：透射电镜图像的傅里叶变换有助于检查样本的周期性。数据的傅里叶变换可以扩展分析样本的可访问信息。

为了更好地理解它，考虑一个信号x(t)：

如果我们对另一个信号做同样的事情，选择相同的时刻，然后测量它的振幅。

考虑另一个信号y(t)：

当我们同时发出这两种信号或者把它们加起来会发生什么？

当我们在同一时刻发出这两个信号时，我们得到一个新的信号，它是这两个信号的振幅之和。这是因为这两个信号被加在一起了。

将两个信号相加：z(t) = x(t) + y(t)

如果我们只有一个信号(它是x(t)和y(t)的和)我们能恢复到原始信号x(t)和y(t)吗？

是的。这就是傅里叶变换的作用。它接收一个信号并把它分解成组成它的频率。

在我们的例子中，傅里叶变换将信号z(t)分解成它的组成频率，就像信号x(t)和y(t)一样。傅里叶变换的作用是把我们从时域移到频域(不理解没关系)。

如果有人想知道，如果我们想从频域回到时域呢？我们可以通过使用傅里叶反变换(IFT)来做到这一点。

你需要知道的数学。

时域内的任何连续信号都可以用无穷级数的正弦信号来唯一地表示出来。

这是什么意思？

这意味着，如果我们有一个由某个函数x(t)产生的信号那么我们就可以得到另一个函数f(t)

因此，无论信号有多强，我们都可以找到一个函数f(t)，该函数是无限多个正弦曲线之和，实际上可以完美地代表信号。

现在，现在出现的问题是，如何在上式中找到系数，因为这些值将决定输出的形状，从而决定信号的形状。

因此，为了获得这些系数，我们使用傅立叶变换，并且傅立叶变换的结果是一组系数。因此，我们X(w)用来表示傅立叶系数，它是频率的函数，是通过求解以下积分得到的：

傅里叶变换表示为不定积分：

X(w)：傅立叶变换

x(t)：傅立叶逆变换

傅里叶变换和反傅里叶变换同时，当我们实际解上面的积分时，我们得到了这些复数其中a和b对应于我们要求的系数。

连续傅立叶变换将无限持续时间的时域信号转换成由无限数量的正弦波组成的连续频谱。实际上，我们处理的是离散采样的信号，通常以固定间隔，有限的持续时间或周期性地进行。为此，经典傅里叶变换算法可以表示为离散傅里叶变换(DFT)，该函数将函数的等距样本的有限序列转换为离散时间的等距样本的等长序列傅里叶变换：

这就是离散傅里叶变换。我们可以做这个计算它会产生一个复数形式为a + ib其中傅立叶级数有两个系数。

现在，我们知道了如何对信号进行采样以及如何应用离散傅立叶变换。我们想做的最后一件事是，我们想摆脱复数，i因为在mllib或systemML里的欧拉公式不支持复数，该复数指出：

所以，如果我们把欧拉公式代入傅里叶变换方程并求解，它会产生实部和虚部。

正如您所看到的，X由a+ib或a-ib格式的复数组成。如果你解出上面的方程你会得到傅里叶系数a和b。

现在如果你把a和b的值代入f(t)的方程那么你就可以根据它的频率来定义一个信号。

在一般实践中，我们使用快速傅立叶变换(FFT)算法，该算法将DFT递归地划分为较小的DFT，从而大大减少了所需的计算时间。DFT的时间复杂度为2N，而FFT 的时间复杂度为2NlogN

为什么用余弦和正弦函数表示信号?

虽然Sine和Cosine函数最初是基于直角三角形定义的，但在当前情况下，从那种角度看并不是最好的事情。您可能已经被教会认识到正弦函数是“斜边对立的”，但是现在是时候有一点不同的观点了。

考虑单位圆：

在笛卡尔平面上。假设通过原点的直线与轴在逆时针方向上成角度θ，则直线与圆的交点为(cosθ，sinθ)。

想一想。这种观点与较早的观点相关吗？这两个定义是相同的。

假设我们通过使θ线性增加开始旋转直线。你会得到这样的东西：

正弦和余弦函数在某些情况下可以说是最重要的周期函数：

SHM振荡器中位移，速度和加速度如何随时间变化的周期性函数是正弦函数。每个粒子都有波动的性质，反之亦然。这是德布罗意的波粒对偶。波始终是某种物理量的正弦函数。声音本身就是一种压力扰动，它通过能够压缩和膨胀的物质介质传播。它是声波在某一点上的压强，它随时间呈正弦变化。

傅立叶变换的收敛

如果一个点以恒定的速度绕圆运动，则其在地面上方的高度将跟踪正弦函数。点移动的速度对应于频率，圆的半径对应于振幅。

再增加1个圆，

再添加2个圆，

再添加9个圆；

人工智能中的傅立叶变换

傅立叶变换是线性函数，可引起非线性。使用卷积。

2个信号的乘积的傅立叶变换是2个信号的卷积。

令x(t)和y(t)是两个具有卷积X(t)* Y(t)的函数，并且F表示傅立叶变换，则

F{x(t).y(t)} = X(t)*Y(t)

请记住，时域中的卷积是频域中的乘法。这就是傅立叶变换主要用于机器学习，尤其是深度学习算法的方式。

我将以卷积神经网络为例；

CNN中90％的计算都是卷积，并且有许多方法可以降低这种计算的强度，其中之一是快速傅立叶变换(FFT)。

代替卷积，输入和滤波器矩阵通过FFT转换到频域，以进行乘法。然后，通过逆FFT(IFFT)将输出转换回时域。

FFT的另一用途是可用于降维或特征提取。

当数据集中的每个样本都是信号(时间序列或图像等)时，它可能包含数千个样本。但是它们实际上可能只对应于傅立叶域中的几个点(特别是如果存在一定的周期性)。这大大简化了问题。

有时使用傅立叶域可能会提供平移不变性。也就是说，即使信号之间存在滞后，这种方差也不会影响它们在傅立叶域中的表示。

傅立叶变换的Python实现

可以使用numpy和scipy python库完成FFT的最简单实现。

结论

FFT用于数字记录、采样、加法合成和基音校正软件。

FFT的重要性来自于这样一个事实：它使得在频域工作与在时间域或空间域工作在计算上同样可行。好了，这就是这篇文章的全部内容，希望你们喜欢。