归并排序的思想以及应用——试解《逆序对的数量》

一、前言

您好，我是夏日弥，叫我“夏”或者“小弥”都可以。

今天先来讲 归并排序 ——一种时间复杂度为 N●logN 的排序算法；

让我们看看今天我们将要进入的主题吧！

二、归并排序

2.1、概念&思想：

归并排序是一种稳定的，时间复杂度为N●logN的排序算法，它由两个部分组成：

递归划分（divide）：将数组划分成左右两个部分，再将左右两个部分分别再划分成两个部分，以此类推，直至数组里的元素被划分成数个只有一个元素的数组；

图解如下：（图丑莫见怪，小夏不会画画哈）

我们把数组划分成这个样子后，递归合并回去；

合并数组：数组元素较小的放在前面，数组元素较大的放在后面；

图解如下：

我们将两个小数组合并成一个局部有序的数组：

以1248和3567为例：

我们将 i 和 j 指向的那个较小数字拿出来放到 tmp[0] 里面：

也就是拿出 1 放到 tmp[0] 里，随后我们移动指针 i 前进，tmp 的指针 t 前进；

再比较2 和 3，把2 放进 tmp[1] 里，移动指针 i 和 t 前进；

这次是3 和 4比较，把3放进去，移动指针 j 和 t前进；

依次类推，直到 i 或 j 走到终点，再将剩余的数字全部复刻进tmp；

1248 就是 12 和 48 以此种规则递归而来；3567依次类推；

2.2、代码实现：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int a[N],tmp[N];
unsigned int result;
void merge_sort(int a[],int l,int r){if( l >= r)return  ;//递归的排序的算法必须考虑到的，当数组只剩一个元素时就要返回单个元素了；int mid = (r + l )/2;//定义中点；merge_sort(a,l,mid);//递归前半部分；merge_sort(a,mid+1,r);//递归后半部分；/* 以下为缝合两个有序的数组的部分 */int i = l;//定义第一数组的前指针；int j = mid+1;//定义第二数组的前指针；int t = 0;//定义暂存数组的前指针； while(i <= mid && j <= r ) //扫描第一数组和第二数组； {if(a[i] <= a[j]){tmp[t++] = a[i++];//把较小的数字放入tmp数组中，再分别移动t针和i针； }else{tmp[t++] = a[j++]; }}/* 以下为补齐部分，将第一或者第二数组的剩余部分补齐进入tmp数组；*/while(i <= mid ){tmp[t++] = a[i++]; }while(j <= r ){tmp[t++] = a[j++];}/* 以下为复制补全部分*/ for(int i = l ,j = 0; i <= r ;i++,j++ ){a[i] = tmp[j];}/*为什么要从 i = l 开始？为什么是i针扫到r结束 ？*/
}
int main(){cin>>n;for(int i = 0;i<n;i++)cin>>a[i];merge_sort(a,0,n-1); for(int i = 0 ;i<n;i++)cout<<a[i]<<" ";
}

经典的递归排序算法模板；

merge_sort (int a[],int l,int r)
//第一个参数为需要排序的数组，第二个参数为排序起点，第三个参数为排序终点

三、例题：

3.1、归并排序：

787. 归并排序 - AcWing题库

使用上面的模板就可以AC了，更多是锻炼您对模板的记忆；

3.2、活动 - AcWing

唔....我们将利用递归思想分析这个问题：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int a[N],tmp[N];
unsigned int result =  0;
void merge_sort(int a[],int l,int r){if( l >= r)return  ;//递归的排序的算法必须考虑到的，当数组只剩一个元素时就要返回单个元素了；int mid = (r + l )/2;//定义中点；merge_sort(a,l,mid);//递归前半部分；merge_sort(a,mid+1,r);//递归后半部分；/* 以下为缝合两个有序的数组的部分 */int i = l;//定义第一数组的前指针；int j = mid+1;//定义第二数组的前指针；int t = 0;//定义暂存数组的前指针； while(i <= mid && j <= r ) //扫描第一数组和第二数组； {if(a[i] <= a[j]){tmp[t++] = a[i++];//把较小的数字放入tmp数组中，再分别移动t针和i针； }else{tmp[t++] = a[j++];result += (mid - i + 1);}}/* 以下为补齐部分，将第一或者第二数组的剩余部分补齐进入tmp数组；*/while(i <= mid ){tmp[t++] = a[i++]; }while(j <= r ){tmp[t++] = a[j++];result += (mid-i+1);}/* 以下为复制补全部分*/ for(int i = l ,j = 0; i <= r ;i++,j++ ){a[i] = tmp[j];}/*为什么要从 i = l 开始？为什么是i针扫到r结束 ？*/
}
int main(){cin>>n;for(int i = 0;i<n;i++)cin>>a[i];merge_sort(a,0,n-1);cout<<result;
}

四、尾声

感谢您的阅读和理解。

小夏累了，下周以及下下周预计会比较忙，有不足之处还望您指出。

特别鸣谢 lym 对本文的指导。

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