puzzle（0211）几何划分问题
目录
一，连续空间划分问题
1，1维——线段 or 直线
2，2维——圆形 or 整个平面
3，3维——球形 or 整个空间
4，k维——整个k维空间
二，OJ实战
HDU 1249 三角形
HDU 2050 折线分割平面
51Nod 1104 直线分割圆
CSU 1284 Cutting Cake
CSU 2059 Water Problem（Z字形分隔平面）
三，对称之美
练习模式
比赛模式
策略
四，星系
五，Kobon问题
一，连续空间划分问题
1，1维——线段 or 直线
n个点可以把线段或者直线分成多少段？
答案是 n+1
2，2维——圆形 or 整个平面
（1）n个直线把圆或者平面分成多少块？
答案是（1+2+3+......+n）+1 = n(n+1)/2+1
（2）圆上的n个点，两两连接成的n(n-1)/2条弦最多可以把圆分成多少块？
思路：单点发出的n-1条弦被其他弦分割形成的分割点的个数是1*(n-3)+2*(n-4)+...+(n-4)*2+(n-3)*1=(n-1)(n-2)(n-3)/6
所以答案是 即n(n-1)(n-2)(n-3)/24+n(n-1)/2+1
3，3维——球形 or 整个空间
（1）n个平面把球形或者空间分成多少块？
答案是
（2）在matrix67的博客中还有这么一个问题，n刀可以把甜甜圈切成多少块？
通过拓扑变换，可以推导出，n刀可以把甜甜圈切成多少块其实就是n+1刀可以把球形分成多少块。所以答案是
4，k维——整个k维空间
通用问题，n个k-1维的刀，可以把一个k维的无穷空间切成多少块？
递推式是
例如，
即，n刀可以把一个无限的三维空间切成块。
二，OJ实战
HDU 1249 三角形
题目：
Description
用N个三角形最多可以把平面分成几个区域?
Input
输入数据的第一行是一个正整数T(1<=T<=10000),表示测试数据的数量.然后是T组测试数据,每组测试数据只包含一个正整数N(1<=N<=10000).
Output
对于每组测试数据,请输出题目中要求的结果.
Sample Input
2
1
2
Sample Output
2
8
解释一下网上到处飞的递推式f(n)=f(n-1)+(n-1)*6是怎么来的。
这个问题其实和n条直线可以把平面分成多少个部分是差不多一样的。
对于直线的问题，递推式是f(n)=f(n-1)+n
也就是说，从n-1条直线，变成n条直线，多了n块。
为什么就刚好是n呢？因为，一条直线可以被n-1条直线分成n段，而每一段，都恰好对应着从n-1条直线变成n条直线时会有1块变成2块，于是整体增加了n块。
对于三角形的问题，道理是一样的。
一个三角形（注意，这里指的是三条边构成的曲线）可以被n-1个三角形分成(n-1)*6段，于是便得到了递推式。
所以f(n)=3 * n*(n - 1) + 2
代码：
#include<iostream>
using namespace std;int main()
{int k, n;cin >> k;while (k--){cin >> n;cout << 3 * n*(n - 1) + 2 << endl;}return 0;
}HDU 2050 折线分割平面
题目：
我们看到过很多直线分割平面的题目，今天的这个题目稍微有些变化，我们要求的是n条折线分割平面的最大数目。比如，一条折线可以将平面分成两部分，两条折线最多可以将平面分成7部分，具体如下所示。
Input
输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(0<n<=10000),表示折线的数量。
Output
对于每个测试实例，请输出平面的最大分割数，每个实例的输出占一行。
Sample Input
2
1
2
Sample Output
2
7
这个问题的本质，和直线分割平面问题是一样的。
每增加1个折线，增加的平面区域的数目等于增加的交点的数目加1
每2个折线都可以有4个交点，如此便得到公式
代码：
#include<iostream>
using namespace std;int main()
{int a;cin >> a;while (cin >> a)cout << a*a * 2 - a + 1 << endl;return 0;
}51Nod 1104 直线分割圆
圆上有N个点，每个点和其他所有点之间都有直线相连。并且任意3线不共点。计算这些直线把圆分割所得的区域的数量K。
例如：N = 2，K = 2，N = 3，K = 4。由于结果可能会很大，输出K Mod (10^9 + 7)的结果。
Input
输入：1个数N。(2 <= N <= 10^9)
Output
输出数量 Mod 10^9 + 7
Sample Input
2
Sample Output
2
#include<iostream>
using namespace std;int main()
{long long n,p=1000000007;cin>>n;long long x=n*(n-1)/2%p,y=(n-2)*(n-3)/2%p;long long z=x*y%p*(p+1)/6%p+x+1;cout<<z%p;return 0;
}CSU 1284 Cutting Cake
题目：
Description
一个蛋糕切N刀，最多能得到多少块？切的过程中不能改变任意一块蛋糕的位置。
Input
输入数据的第一行包含一个整数T (1 <= T <= 100)，表示接下来一共有T组测试数据。
每组测试数据占一行，包含一个整数N (1 <= N <= 100)，含义同上。
Output
用一行输出一个整数，表示上述问题的答案。
Sample Input
3
2
3
4
Sample Output
4
8
15
代码：
#include<iostream>
using namespace std;int main()
{int t, n;cin >> t;while (t--){cin >> n;cout << (n*n - 1)*n / 6 + n + 1 << endl;}return 0;
}CSU 2059 Water Problem（Z字形分隔平面）
题目：
Description
一条‘Z’形线可以将平面分为两个区域，那么由N条Z形线所定义的区域的最大个数是多少呢？每条Z形线由两条平行的无限半直线和一条直线段组成
Input
首先输入一个数字T（T<100），代表有T次询问 每次询问输入一个数字N（N<1e8），代表有N条Z形线
Output
对于每次询问，在一行输出N条‘Z’形线所能划分的区域的最大个数为多少
Sample Input
2
1
2
Sample Output
2
12
思路：
首先考虑一个类似的问题：
有N组直线，每组都由3条平行的直线构成，3条直线的间距可以调整。
那么N组直线最多划分出多少个区域？
这个问题就很容易求出来，3n（3n-1）/2+1
本题的答案，就是把每组3条平行直线变成Z，也就是在3n（3n-1）/2+1的基础上再减2n即可
代码：
#include<iostream>
using namespace std;int main()
{long long a;cin >> a;while (cin >> a)cout << (a * 9 - 7)*a / 2 + 1 << endl;return 0;
}三，对称之美
最强大脑同款项目。
练习模式
（3）
（8）
比赛模式
简单
普通
困难
前面很多地方是随便试的，最后这块有个白格子没覆盖，不好解决。
策略
初始条件：先把对称点在边上的或在交叉点上的，对应的2个或4个格子标注出来，颜色不用特别在意，随时可以换，如果不在意速度的话。
局部性原理：整个局面如何划分，并不是特别随意，每个格子属能于哪个块的情况数并不多。
推理顺序：推理顺序主要是2种，一种是先从对称点比较密集的地方开始推理，另一种是从边角往里推，因为这些地方的情况数比较少。
困难关卡示例1：
先标初始条件
再从边角推理：（粉色的4处）
PS：我用黑线把颜色标注出来了，标注的颜色表示是这一轮新推理出来的。
继续推理能确定的：（蓝绿紫三色的8处）
继续推理：（红色和粉色的5处）
然而，再继续往下推就会发现错误，于是我干脆随意试一下，看大概有多少格子标不出颜色
重新推理：
思路策略是对的，就是很容易有疏漏，我在excel里面重新做了一遍：
C11之前就是推错了，所以最后B8空着没法填色。
推错的根源，是我推出I15只能和H14连起来，然而，实际情况是：
I15居然和L11连起来，因为漏了这个可能性，所以后面全面崩溃。
现在这一步找对了，后面的就很简单了：
继续推发现又无解了，全面还是有错的，改了2个格子：
剩下的试一下就出来了：（这一步不确定是不是唯一的）
困难关卡示例2：
困难关卡示例3：
困难关卡示例4：
四，星系
和对称之美是一样的，因为颜色足够，不把四色定理相关的考察融入其中，所以只是划分问题，不用关注颜色，所以星系直接就是无色的。
在线play
五，Kobon问题
来自http://www.matrix67.com/blog/archives/398
N条直线划分平面，最多可以构成多少个互不重叠的三角形？
首先我们很容易想到，在计算有多少个互不重叠的三角形时，只需要看所有的简单连通块即可（即只看内部没有线条的三角形）。
已被证明，n(n-2)/3是Kobon三角形问题的一个上界。
当n=17时，上界85可以达到：
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