在有理數域上，分解下面的式子成部分分式:

(a)
\begin{equation}
\frac{3x+4}{x^2+3x+2}
\end{equation}
解:$x^2+3x+2=(x+2)(x+1)$.設
\begin{equation}
\frac{3x+4}{x^2+3x+2}=\frac{P}{x+2}+\frac{Q}{x+1}
\end{equation}解得
\begin{equation}
P=2,Q=1
\end{equation}
因此
\begin{equation}
\frac{3x+4}{x^2+3x+2}=\frac{2}{x+2}+\frac{1}{x+1}
\end{equation}

(b)
\begin{equation}
\frac{1}{x^2-a^2}
\end{equation}
解:當$a\neq 0$時，易得$x^2-a^2=(x-a)(x+a)$,且$x-a,x+a$互素.此時，設
\begin{equation}
\frac{1}{x^2-a^2}=\frac{P}{x-a}+\frac{Q}{x+a}
\end{equation}
則$P=\frac{1}{2a},Q=\frac{-1}{2a}$.當$a=0$時，不必再討論了.

(c)
\begin{equation}
\frac{1}{x^3+x}
\end{equation}
解:$x^3+x=x(x^2+1)$.易得$(x,x^2+1)=1$,因此設
\begin{equation}
\frac{1}{x^3+x}=\frac{P}{x}+\frac{Q}{x^2+1}
\end{equation}
解得$P=1,Q=-x$.可見，
\begin{equation}
\frac{1}{x^3+x}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}
\end{equation}

(d)
\begin{equation}
\frac{a^2}{x^3-a^3}
\end{equation}

解:$x^3-a^3=(x-a)(x^2+a^2+ax)$.讓我們分類討論.當$x-a$與$x^2+a^2+ax$不是互素，意味着$a=0$,此時，沒什麼意思.除此之外，只有$x-a$與$x^2+a^2+ax$互素這種情況.

\begin{equation}
\frac{a^2}{x^3-a^3}=\frac{P}{x-a}+\frac{Q}{x^2+a^2+ax}
\end{equation}解得$P=1,Q=-x$.
因此
\begin{equation}
\frac{a^2}{x^3-a^3}=\frac{1}{x-a}-\frac{x}{x^2+a^2+ax}
\end{equation}
且$x^2+ax+a^2$易證在有理數域上不可約.

(e)
\begin{equation}
\frac{3}{x^3+5x^2+4}
\end{equation}
解:由於$x^3+5x^2+4$在有理數域上不可約，因此該分式不能再分解了.

(f)
\begin{equation}
\frac{3x-7}{(x-2)^2}
\end{equation}
解:這個太簡單了，幾乎已經達到了不用再做的地步.