普通高中课程标准实验教科书(必修)数学1

1、集合

1.1、定义

研究对象被统称为元素(element),元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集).

集合中的元素必须是确定的,且互不相同.如果构成两个集合的元素一样,则称两个集合相等.

一般用大写拉丁字母 A,B,C,D,… 表示集合,用小写拉丁字母 a,b,c,d,… 表示集合中的元素.

如果 a 是集合 A 的元素,即 a 属于(belong to)集合 A,记作 a∈A;如果 a 不是集合 A 中的元素,即 a 不属于(not belong to)集合 A,记作 a∉A.

1.2、数学中一些常用的数集及其记法

由数组成的集合叫做数集.

N:全体非负整数组成集合称为非负整数集(或自然数集);
N^*或者N₊:所有正整数组成的集合称为正整数集;
Z:全体整数组成的集合称为整数集;
Q:全体有理数组成的集合称为有理数集;
R:全体实数组成的集合称为实数集;

以上是用自然语言描述一个集合,还可以用列举法表示集合,把集合的元素写在大括号 {}中即可.例如:"地球上的四大洋"组成的集合表示为{太平洋,印度洋,大西洋,北冰洋}.还可以用描述法表示集合,例如所有奇数组成的集合可以表示为E={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}.

列举法:把集合的元素一一列举出来,并用花括号{}括起来;
描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法;

1.3、集合间的基本关系

对于两个集合 A 和 B,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集合 A 为集合 B 的子集(subset),记作 A⊆B(或B⊇A),读作"A 包含于 B"(或"B 包含 A"),其中⊆是子集符号,⊇是父集符号.

用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图.

如果集合 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,即集合 A 和集合 B 中的元素完全一样,则集合 A 与集合 B 相等,记作: A=B.

如果集合 A⊆B,但存在元素 x∈B,且 x∉A,则集合 A 是集合 B 的真子集(proper subset),记作 A⫋B(或者 B⫌A),高中数学课本用此符号.有的地方也记作 A⊂B(或者 B⊃A),也有的地方记作 A⊊B(或者 B⊋A).

不包含任何元素的集合叫空集,记作∅,空集是任何集合的子集.

1.4、集合的基本运算

若集合 C 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 C 是集合 A 与 B 的并集(union set),记作 C=A∪B(读作"A 并 B"),即 C=A∪B={x|x∈A,或 x∈B}.

若集合 C 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,则称 C 是 A 与 B 的交集(intersection set),记作 C=A∩B(读作 “A 交 B”),即C=A∩B={x|x∈A,且 A 属于 B}.

如果一个集合含有所研究问题中所涉及的所有元素,这个集合称为全集(universe set),记作大写的 U.

对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U的补集(complementary set),简称为集合 A 的补集,记作 ∁_UA,即 ∁_UA={x|x∈U,且 x∉A}.在其他地方也有的记作 U\A 或 B-A.

1.5、集合中元素的个数

含有有限个元素的集合 A 叫作有限集,用 card 来表示有限集合 A 中元素的个数.例如 A={a,b,c},则 card(A)=3.
相关公式有:

card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B);
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)

2、函数

2.1、函数的概念

设 A,B 是非空数集,按照某种确定的对应关系 ƒ,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 ƒ(x) 和它对应,那么就称 ƒ:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function),记作: y=ƒ(x),x∈A.其中 x 叫自变量,x的取值范围 A 叫函数的定义域(domain);y 叫函数值,函数值的集合{ƒ(x)|x∈A}叫函数的值域(range ).

如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数相等.

2.1.1、区间

设 a,b 是两个实数,而且 a<b,则有:

(1) 满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫闭区间,表示为 [a,b];
(2) 满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫开区间,表示为 (a,b);
(3) 满足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b 的实数 x 的集合叫半开半闭区间,分别表示为 [a,b),(a,b];

这里的实数 a 和 b 都叫相应区间的端点.

用区间表示举例:

实数R:(-∞,+∞);
x≥a:[a,+∞);
x>a:(a,+∞);
x≤b:(-∞,b];
x<b:(-∞,b);

2.2、函数的表示法

初中接触过的三种函数表示方法:解析法,图像法列表法.

解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系;
图像法:用图像表示两个变量之间的对应关系;
列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系;

2.3、映射

设 A,B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 ƒ,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称 ƒ:A→B 为集合 A到集合 B 的一个映射(mapping).

2.4、函数的基本性质

2.4.1、单调性

如果对于定义域 I 内某区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁,x₂, 当 x₁<x₂时,都有 ƒ(x₁)<ƒ(x₂),那么就说函数 ƒ(x) 在区间 D 上是增函数(increasing function);

如果对于定义域 I 内某区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁,x₂, 当 x₁<x₂时,都有 ƒ(x₁)>ƒ(x₂),那么就说函数 ƒ(x) 在区间 D 上是减函数(decreasing function);

如果函数 y=ƒ(x) 在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=ƒ(x) 在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=ƒ(x) 的单调区间.

2.4.2、函数的最大值和最小值

当一个函数 y=ƒ(x) 的图像上有最低点时,则函数 y=ƒ(x) 有最小值.
当一个函数 y=ƒ(x) 的图像上有最高点时,则函数 y=ƒ(x) 有最大值.

设函数 y=ƒ(x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:

(1)对于任意的 x∈I,都有 ƒ(x)≤M;
(2)存在 x₀∈I,使得 ƒ(x₀)=M;

那么,称 M 是函数 y=ƒ(x) 的最大值(maximum value).

对于二次函数 ƒ(x)=ax²+bx+c,它的最值(最大值,最小值)求法如下:

f(x)=ax2+bx+c=a(x2+bax+ca)=a[(x+b2a)2−b24a2+ca]=a(x+b2a)2+4ac−b24a\begin{aligned} f(x) & =ax^2+bx+c \\\\ & =a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})\\\\ & =a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}]\\\\ & =a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a} \end{aligned} f(x)=ax2+bx+c=a(x2+abx+ac)=a[(x+2ab)2−4a2b2+ac]=a(x+2ab)2+4a4ac−b2

可以看出:

当 a 是正数时,f(x)f(x)f(x)有最小值4ac−b24a\frac{4ac-b^2}{4a}4a4ac−b2,此时x=−b2ax=-\frac{b}{2a}x=−2ab;
当 a 是负数时,f(x)f(x)f(x)有最大值4ac−b24a\frac{4ac-b^2}{4a}4a4ac−b2,此时x=−b2ax=-\frac{b}{2a}x=−2ab;

2.4.3、奇偶性

如果对于函数f(x)f(x)f(x)的定义域内任意一个x,都有f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x),那么函数f(x)f(x)f(x)就叫做偶函数(even function);
如果对于函数f(x)f(x)f(x)的定义域内任意一个x,都有f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x),那么函数f(x)f(x)f(x)就叫做奇函数(odd function);

3、基本初等函数(1)

基本初等函数有 指数函数,对数函数,幂函数

3.1、指数函数

如果 xn=ax^n=axn=a ,那么 x 叫 a 的 n 次方根(n th root),其中 n>1,且 n∈N∗n∈N^*n∈N∗.式子an\sqrt[n]{a}na叫根式(radical),n 叫根指数(radical exponent),a 叫被开方数(radicand).

当 n 是奇数时,ann=a\sqrt[n]{a^n}=anan=a;
当 n 是偶数时,ann=∣a∣={a,a≥0,−a,a<0.\sqrt[n]{a^n}=|a|=\begin{cases}a,a≥0,\\\\-a,a<0.\end{cases}nan=∣a∣=⎩⎪⎨⎪⎧a,a≥0,−a,a<0.

以上的 n 是整数,xn=ax^n=axn=a叫整数指数幂;如果 n 是分数,xn=ax^n=axn=a则叫分数指数幂;

对于任意有理数r,s,有如下性质:

aras=ar+s(a>0,r,s∈Q)a^ra^s=a^{r+s}(a>0, r,s∈Q)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q);
(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q)(a^r)^s=a^{rs}(a>0, r,s∈Q)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q);
(ab)r=arbs(a>0,b>0,s∈Q)(ab)^r=a^rb^s(a>0,b>0, s∈Q)(ab)r=arbs(a>0,b>0,s∈Q).

有理数指数幂的法则同样适用于无理数指数幂.

函数 y=ax(a>0,且a≠1)y=a^x (a>0,且 a≠1)y=ax(a>0,且a=1) 叫指数函数(exponential function),其中 x 是自变量,函数的定义域是 R.

3.2、对数函数

如果 ax=N(a>0且a≠1)a^x=N (a>0 且 a≠1)ax=N(a>0且a=1),那么数 x 叫以 a 为底 N 的对数(logarithm),记作:x=log⁡aNx=\log_{a}{N}x=logaN,其中 a 叫对数的底数,N 叫真数.

以 10 为底的对数叫常用对数(common logarithm),把 log⁡10N\log_{10}{N}log10N 写为 lg⁡N\lg{N}lgN.
以无理数 e=2.71828…为底的对数称为自然对数(natural logarithm),把log⁡eN\log_{e}{N}logeN写为ln⁡N\ln{N}lnN

负数和零没有对数(即 N=0 或 N<0 时找不到对应的 x 的值),因为当 a>0 时,对于任意 x,总有 ax>0a^x>0ax>0.

把函数y=log⁡axy=\log_{a}{x}y=logax (a>0,且 a≠1)叫对数函数(logarithmic function),其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

3.2.1、对数的运算法则

a>0,且 a≠1,M>0,N>0,有如下法则:

log⁡aMN=log⁡aM+log⁡aN\log_{a}{MN}=\log_{a}{M}+\log_{a}{N}logaMN=logaM+logaN;
log⁡aMN=log⁡aM−log⁡aN\log_{a}{\frac{M}{N}}=\log_{a}{M}-\log_{a}{N}logaNM=logaM−logaN;
log⁡aMn=nlog⁡aM(n∈R)\log_{a}{M^n}=n\log_{a}{M} (n∈R)logaMn=nlogaM(n∈R);
log⁡ab=log⁡cblog⁡ca(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)\log_{a}{b}=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}} (a>0,且 a≠1;c>0,且 c≠1;b>0)logab=logcalogcb(a>0,且a=1;c>0,且c=1;b>0);

3.3、幂函数

函数y=xay=x^ay=xa 叫幂函数(power function),其中 x 是自变量,a 是常数.

4、函数与方程

4.1、方程的根与函数的零点

对于函数y=f(x)y=f(x)y=f(x),把能使f(x)=0f(x)=0f(x)=0的实数 x 叫做函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的零点(zero point),零点就是方程的实数根,也即函数的图像与 x 轴的交点的横坐标.

方程f(x)=0f(x)=0f(x)=0有实数根 ⇔ 函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)的图像与 x 轴有交点 ⇔ 函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)有零点.

如果函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)⋅f(b)<0f(a)·f(b)<0f(a)⋅f(b)<0,那么,函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0f(c)=0f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0f(x)=0f(x)=0的根.

4.2、用二分法求方程的近似解

对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)⋅f(b)<0f(a)·f(b)<0f(a)⋅f(b)<0的函数y=f(x)y=f(x)y=f(x),通过不断地把函数f(x)f(x)f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法(biscetion).

5、函数的应用

在本书的最后有一道实习作业题,说:

牛顿曾提出一个物体冷却模型.如果物体初始温度是θ1θ_1θ1,环境温度是θ0θ_0θ0,则经过时间 t 后物体的温度 θ 将满足 θ=θ0+(θ1−θ0)⋅e−ktθ=θ_0+(θ_1-θ_0)·e^{-kt}θ=θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt,其中 k 为正的常数.

提出的问题是:

①一杯开水的温度降到50℃时大约需要多少时间?
②应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻?
③在寒冬季节,是冷水管容易结冰,还是热水管容易结冰?

在此,我尝试解答下这个问题.

问题①解答:

假设环境温度是20℃,把参数 θ=50,θ0=20,θ1=100θ=50,θ_0=20,θ_1=100θ=50,θ0=20,θ1=100带入模型中,

即50=20+(100−20)⋅e−kt50=20+(100-20)·e^{-kt}50=20+(100−20)⋅e−kt
可得e−kt=50−20100−20=38e^{-kt}=\frac{50-20}{100-20}=\frac{3}{8}e−kt=100−2050−20=83
此时t=−ln⁡38kt=-\frac{\ln{\frac{3}{8}}}{k}t=−kln83
只需要知道 k 的具体数值就可以算出结果了,经查资料得知 k 是与系统本身性质和形状有关,可以通过实验获取它具体的数值,例如100℃的一杯水在20℃的环境温度冷却5分钟后,水温是70℃,把这些参数带入模型中即可求出 k 值,多次实验求平均值即可.

问题②解答

假设冰箱中的冷冻肉是 -18℃,拿出冰箱自然升温1℃即可炒菜,则有:
t=−ln⁡θ−θ0θ1−θ0k=−ln⁡1−20−18−20k=ln⁡2kt=-\frac{\ln{\frac{θ-θ_0}{θ_1-θ_0}}}{k}=-\frac{\ln{\frac{1-20}{-18-20}}}{k}=\frac{\ln{2}}{k}t=−klnθ1−θ0θ−θ0=−kln−18−201−20=kln2

问题③解答

假设冷水管中的水温是 θaθ_aθa,热水管中的水温是 θbθ_bθb ,可知 θbθ_bθb>θaθ_aθa>0;冷水管结冰用时为tat_ata,热水管结冰用时为tbt_btb,则根据t=−ln⁡θ−θ0θ1−θ0kt=-\frac{\ln{\frac{θ-θ_0}{θ_1-θ_0}}}{k}t=−klnθ1−θ0θ−θ0
有:
ta−tb=−ln⁡θ−θ0θa−θ0k−(−ln⁡θ−θ0θb−θ0k)=ln⁡θa−θ0θb−θ0kt_a-t_b=-\frac{\ln{\frac{θ-θ_0}{θ_a-θ_0}}}{k}-(-\frac{\ln{\frac{θ-θ_0}{θ_b-θ_0}}}{k})=\frac{\ln{\frac{θ_a-θ_0}{θ_b-θ_0}}}{k}ta−tb=−klnθa−θ0θ−θ0−(−klnθb−θ0θ−θ0)=klnθb−θ0θa−θ0

可知θb−θ0>θa−θ0>0θ_b-θ_0>θ_a-θ_0>0θb−θ0>θa−θ0>0,可得ln⁡θa−θ0θb−θ0<0\ln{\frac{θ_a-θ_0}{θ_b-θ_0}}<0lnθb−θ0θa−θ0<0,又因为 k>0,所以 ta−tb=ln⁡θa−θ0θb−θ0k<0t_a-t_b=\frac{\ln{\frac{θ_a-θ_0}{θ_b-θ_0}}}{k}<0ta−tb=klnθb−θ0θa−θ0<0,即ta<tbt_a<t_bta<tb,因此热水管结冰用的时间更长,所以冷水管更容易结冰.

6、参考资料

普通高中课程标准实验教科书——数学1（必修）[ISBN 978-7-107-17705-7]