普通高中课程标准实验教科书(必修)数学5

1、解三角形

1.1、正弦定理和余弦定理

正弦定理 对任意△ABC中,有如下等式成立:

a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c sin ⁡ C \frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}} sinAa=sinBb=sinCc

三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素,已知几个元素求其他元素的过程叫解三角形(solving triangles).

余弦定理 已知三角形的两边和这两边的夹角可求出第三边的边长:

a 2 = b 2 + c 2 + 2 b c cos ⁡ A a^2=b^2+c^2+2bc\cos{A} a2=b2+c2+2bccosA.

2、数列

2.1、数列概念与简单表示法

按照一定顺序排列的一列数称为数列(sequence of number),数列中的每一个数叫做这个数列的项,排在第一位的数叫首项.

数列一般形式为 a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . , a_1,a_2,a_3,...,a_n,..., a1,a2,a3,...,an,...,,简记为 { a n a_n an},项数有限的数列叫有限数列,项数无限的数列叫无限数列.

从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;
从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;
各项相等的数列叫常数列;
从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫摆动数列;

如果数列 { a n a_n an} 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,这个式子叫这个数列的通项公式.

a n = 2 a n − 1 + 1 ( n > 1 ) a_n=2a_{n-1}+1 (n>1) an=2an−1+1(n>1),递推公式也是表示数列的一种方法.

2.2、等差数列

如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列叫等差数列(arithmetic sequence),这个常数叫等差数列的公差(common difference),公差通常用 d 表示.

由三个数 a,A,b 组成的最简单的等差数列,此时 A 叫做 a 与 b 的等差中项(arithmetic mean)

2.3、等差数列的前 n 项和

S n = n ( a 1 + a n ) 2 = n a 1 + n ( n − 1 ) 2 d S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d Sn=2n(a1+an)=na1+2n(n−1)d.

2.4、等比数列

如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,则这个数列叫等比数列(geometric sequence),这个常数叫等比数列的公比(common ratio),公比通常用 q 表示(q≠0).

a,G,b 组成的等比数列,G 叫 a 与 b 的等比中项.

2.5、等比数列的前 n 项和

S n = a 1 ( 1 − q n ) 1 − q = a 1 − a n q 1 − q S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q } Sn=1−qa1(1−qn)=1−qa1−anq ( q ≠ 1 ) (q≠1) (q=1).

3、不等式

略.

4、参考资料

普通高中课程标准实验教科书——数学5（必修）[ISBN 978-7-107-17709-5].