布尔-施罗德逻辑代数中的公设对应-- 布尔逻辑之六

布尔-施罗德逻辑代数中的公设对应-- 布尔逻辑之六

由布尔奠定的逻辑代数，经过耶芳斯（Jevos）和皮尔斯（Pierce）等人的补充修订，成为现代逻辑的一个起点。
但布尔系统的完善，更得力于英美学圈之外的欧洲大陆学者，特别是德国数学家施罗德（Karl Ernst SchrÖder（1841-1902））的工作。施罗德批判性地修改了布尔的类逻辑，特别强调了逻辑加和逻辑乘观念之间的双向性。而这种双向性，也是耶芳斯在他19世纪晚期著作中引入逻辑代数之中的。
施罗德的逻辑代数著作，还特别借鉴了美国学者皮尔斯为这个领域所作的工作（有关皮尔斯的工作，准备稍后再表，此处略）。施罗德的《逻辑代数讲演集》（Lectures on the algebra of logic），融和了布尔，德摩根、耶芳斯、皮尔斯、亨廷顿还有许多欧美其它学者，在逻辑代数这门新学科中所作的各种贡献。因此，在这个意义上，逻辑代数虽然简称为布尔逻辑代数，但按照美国学者C.I刘易斯的意见，称作布尔-施罗德逻辑代数更为合理。（见《符号逻辑概览》第118页）
这个代数系统到施罗德那里，最重要的进展是采用欧氏几何的公理化模式，为系统建立公设。在C.I刘易斯的《符号逻辑概览》一书中，刘易斯借用施罗德和亨廷顿等人的工作，还有英国耶芳斯和美国皮尔斯的工作，给布尔系统增添了一个重要的关系概念：“包含于”或者称“蕴涵”概念。而亨廷顿，曾经为逻辑代数做过四种公设集合，刘易斯对其所做的第三种公设集合做了修改，把布尔-施罗德逻辑代数设置为九个公设。
这九个公设中，乘法“*”为初始运算，0为初始类，否定符号“-”也作为初始符号引进。然后，通过定义方式，从初始元素0引入1，从初始运算乘法借助德摩根定律引入加法。除乘法的交换律之外，还增加了乘法的结合律。最后，依据乘法，引入一个耶芳斯和皮尔斯创立的新符号：包含于“⊂”关系的符号。这个逻辑系统的公设，我将其缩写为BSP。
我照录BSP这九个公设并简介如下。

“公设为：
一个元素为a，b，c等等，关系为乘法“”的类别K，使得：
1.1 如果a和b是K中元素，那么ab是K中元素，该公式唯一地由a和b来判定。
1.2 对任意元素a，aa = a。（布尔指数法则）
1.3 对任意元素a和b，ab = ba。（乘法交换律）
1.4 对任意元素a，b和c，a（bc） = （ab）c。（乘法结合律）
1.5 存在唯一元素0在K中，使得对于任意元素a，a0 = 0。（引入布尔空符号nothing）
1.6 对于任意元素a，都存在一个元素-a，使得（这是引入布尔没有的否定符号）
1.6.1 如果x*-a = 0，那么 xa = x。（否定相乘为空，则肯定相乘的那个元素不变）
1.6.2 如果ya = y，y*-a = y，那么y = 0。（古老的归谬法则）
1.7 def 1 = -0。（通过定义引入布尔的那个“全”类）
1.8 def a + b = -（-a * - b）（这是从否定和乘法出发给加法的定义，有点德摩根定律的味道）
1.9 a⊂b等价于a*b = a （这是引入布尔没有，莱布尼兹更没有想到的“包含于”，或者“蕴涵”符号，这里的“等价于”概念，是在等值概念基础上构建的另一个有关等同的概念。）”
（见《符号逻辑概览》第119页，其中圆括号部分的文字是我加的简介）

以这九个公设为基础，可以发展成为一个抽象的数学系统。上述公设中的等号“=”，是具有通常数学意义中的等号。它和公设中的乘法符号*，加法符号+和包含于符号⊂一样，都属于与公设一致的任意关系。布尔的逻辑代数之后，皮尔斯等人的关系逻辑也是值得关注的，这待布尔以后篇幅再议。
以这九个假设构成的演算系统，可以给出至少二种解释，如上篇曾谈到的。一种是类逻辑的解释，还有一种是命题逻辑的解释。此篇简略地给出类逻辑的解释，命题逻辑的解释则留待下篇。
“类”（classes）这个概念，在今天的计算机语言中使用频度很高，你要是学习python语言，几乎通篇都会看到类、对象、实例、方法、继承、多重继承、函数等这样一大串与类相关的词项集群。计算机语言中的类，也许和布尔的这个类逻辑有所关联吧。
那么，布尔的这个“类逻辑”究竟是个什么样的逻辑呢？
先对“类”这个常识语词做个解释。
在布尔代数中，我们有“全”和“无”这两个类，它们被假定为这个世界最大的一个类和最小的一个类。所有的东西都能够装进去，这就是最大的类。什么都没有，空空如也，这是最小的类。由此可以想象，在这个最大和最小之间还存有很多很多的东西，用语词来表示，通常是名词,特别是实在性的名词所表达的东西。而用数字来表达，就是从1到最大之间的那些可以用数字计算的东西。所有这些，都可以归到“类”这个概念之下。布尔的类之后，很快就出现了“集合”这个近似于“类”的概念，非常相近，几乎难以区分，但还是各有千秋。这也留待来日再说，此处暂且打住。
布尔代数，既是创新也是传承，它传承了古典逻辑有关词项的内涵与外延之分。在内涵与外延的意义上，布尔施罗德代数的类逻辑就是一种外延的逻辑。一个逻辑的类a，b，c等等，我们只是从外延的角度来看待它们，我们把a，b，c等“类”符号的内涵给抽象掉了，只注重类符号的外延，忽略掉类符号的内涵。
而所谓一个逻辑类符号a的外延，那就是看这个a是由哪些成员组成的，至于这些成员具有什么属性或者内涵则放置一旁，不予理会。这如同我篮框中的一堆苹果，不管它们好坏，也不管它们形状，反正是苹果没错，我只按个数来数一样。
由此就可以知道类逻辑的一般含义，那就是说，运算符号的载体是类符号的外延。
对于类符号的这种外延解释，立刻就产生和前述布尔-施罗德逻辑代数九个公设的对应公设。类逻辑的这个对应公设，我缩写为CLP。
立刻就可以看到BSP公设与CLP公设的对应。
BSP公设1有CLP公设1作为对应：
CLP1:如果ab是逻辑类，取其外延则有，a和b共同具有的成员也构成一个逻辑类。在ab中没有共同成员，这样构成的类就是空类0。（乘法公式形成公设）
BSP公设2-9有CLP公设2-9作为对应：
CLP2:aa共同具有的成员构成了类a本身。（乘法指数公设）
CLP3:ab共同具有的成员等同于ba共同具有的成员。（乘法交换律公设）
CLP4:（ab）c共同具有的成员，等同于a（bc）共同具有的成员。（这是乘法结合律公设）
CLP5:任意类a0共同具有的成员等同于空类0。（空类0公设）
CLP6:对任意类a，存在其否定-a，a和-a构成全类，不包含在a之中，且使得：
CLP6.1:如果-a和任意x没有共同成员，那么，x的所有成员都对于x和a是共同具有的成员，或者x就包含在a中。（正好与BLP5对应）
CLP6.2:如果任意类y的所有成员对于y和a是共同具有的成员，并且也对y和-a是共同具有的，那么y一定是空类。
CLP7:全类，万事万物，是空类和无有的否定。（对应BLP7）
CLP8:a+b，这个表达式等同于-（-a*-b）（德摩根定律）
CLP9:a⊂b中，等价于：a*b=a。（包含于关系）

可以看到几乎是完全对应的公设，仅仅只是在表述上稍有不同，前者使用的是元素，后者使用的是类。
有了这些CLP公设之后，一批基本定理就可以证明出来。布尔施罗德代数作为类逻辑是其原初性的意图，但这个逻辑的解释除了类作为运算的载体这样的解释之外，还有一种命题的解释，运算的载体是命题。本篇也就省略掉对于这个类逻辑的诸多描述，把这个描述的篇幅留给命题逻辑，真正的现代逻辑开端，且待下篇。2020/06/11

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