# 诗经·秦风·无衣
岂曰无衣，与子同袍。王于兴师，修我戈矛。与子同仇。
岂曰无衣，与子同泽。王于兴师，修我矛戟。与子谐作。
岂曰无衣，与子同裳。王于兴师，修我甲兵。与子谐行。
#把正确的时间拿来看看书而不是低级趣味。。。

0.摘要

\qquad 递归的原则:当前步骤处理当前的问题，递归处理后续问题；
\qquad 回溯：探索到某一步时，发现原先选择达不到目标，则后退一步重新选择，走不通就退回再走；
\qquad 分治：将原问题分解为若干个**“不相关”**的子问题。

1.回溯法

1.1 基于暴力的二分树

#include<vector>
vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums)
{vector<vector<int>> result;vector<int> item;result.push_back(item); //先将空集入vgenerate(0,nums,item,result);return result;
}
void generate(int i, vector<int>& item, vector<vector<int>>& reuslt)
{if(i==nums.size()) return;item.push_back(nums[i]);result.push_back(item); //选择第i个元素，并写入结果generate(i+1,nums,item,result); //递归后续元素item.pop_back(); //不选择第i个元素generate(i+1,nums,item,result); //递归后续元素
}

利用二进制数模拟三个元素【A,B,C】左右位置表示进制

vector<vector<int>> subsets(vector<int>&nums)
{vector<vector<int>> result;int iterations = 1<<nums.size(); //匹配总可能数for(int i=0; i<iterations; ++i){vector<int> item;//将每一个位置的j赋予底幂，匹配是否在item中for(int j=0; j<nums.size(); ++j){if(i&&(1<<j)){item.push_back(nums[j]);}result.push_back(item);}}return result;
}

1.2递归树剪枝，降低复杂度

A：对于明显不满足要求的结果，提前终止递归

#include<vector>
#include<set>
#include<algorithm>vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {sort(candiates.begin(),candidates.end());vector<int> item;vector<vector<int>> result;set<vector<int>> res_set;generate(0,candidates,item,result,res_set,0,target);   return result;}void generate(int i, vector<int>&candidates,vector<int>&item,vector<vector<int>>& result,set<vector<int>>&res_set,int sum, int target){if(sum>target || i==num.size()) return;item.push_back(candidate[i]);sum += candidate[i];if(sum==target && res_set.find(item)==res_set.end()){res_set.insert(item);result.push_back(item);}generate(i+1,candidates,item,result,res_set,sum,target); sum -= candidates[i];item.pop_back();generate(i+1,candidates,item,result,res_set,sum,target); }

A:在递归生成时，判断左右括号匹配进行剪枝

vector<string> generateParenthesis(int n)
{vector<string> result;generate("",n,n,result);return result;
}
void generate(string item,,int left,int right,vector<string>& result)
{if(left==0&&right==0){result.push_back(item);return;}if(left>0)generate(item+'(',left-1,right,result);if(right>left)genertae(item+')',left,right-1,result);
}

2.N皇后问题

#include<iostream>
using namespace std;
#include<vector>
#include<string>void change_flag(int x, int y, vector<vector<int> >&flag)
{int d_x[] = {-1,-1,-1,0,0,1,1,1};int d_y[] = {-1,0,1,-1,1,-1,0,1};flag[x][y] = 1;for(int i=1;i<flag.size();++i){for(int j=0; j<8; ++j){int newx = x + i*d_x[j];int newy = y + i*d_y[j];if(newx>=0 && newx<flag.size() && newy>=0 && newy<flag.size()){flag[newx][newy] = 1;}}}
}void generate(int k, int n, vector<vector<int> >&flag, vector<string>&item, vector<vector<string> >&result)
{if(k==n) {result.push_back(item);return;}for(int i=0; i<n; ++i){if(flag[k][i]==0){vector<vector<int> > tep = flag;item[k][i] = 'Q';change_flag(k,i,flag);cout<<flag[1][1];generate(k+1,n,flag,item,result);flag = tep;item[k][i] = '.';}}}vector<vector<string> > solveNQueens(int n)
{vector<string> item;vector<vector<string> > result;vector<vector<int> > flag;for(int i=0; i<n;++i){flag.push_back(vector<int>());item.push_back("");for(int j=0; j<n; ++j){flag[i].push_back(0);item[i].push_back('.');}}generate(0,n,flag,item,result);return result;
}

3.分治算法

\qquad 将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题之间相互独立且与原问题性质相同，求出子问题之后再合并，就可以得到原问题的解。

3.1归并排序

#include<vector>
void merge_sort(vector<int>&nums)
{if(nums.size()<2) return;int mid = nums.size()>>1;vector<vector<int>> sub_left_nums;vector<vector<int>> sub_right_nums;for(int i=0; i<mid; ++i){sub_left_nums.push_back(nums[i]);}for(int i=mid; i<nums.size(); ++i){sub_right_nums.push_back(nums[i]);}merge_sort(sub_left_nums);merge_sort(sub_right_nums);nums.clear();merge_two_sub(sub_left_nums, sub_right_nums, nums);
}void merge_two_sub(vector<int>&sub_left_nums,vector<int>&sub_right_nums,vector<int>&nums)
{int i=0; int j=0;while(i<sub_left_nums.size() && j<sub_right_nums.size()){if(sub_left_nums[i]<sub_right_nums[j]){nums.push_back(sub_left_nums[i]);}else{nums.push_back(sub_right_nums[j]);}}for(;i<sub_left_nums[i];++i){nums.push_back(sub_left_nums[i]);}for(;j<sub_right_nums[j];++j){nums.push_back(sub_right_nums[j]);}
}

3.2改造归并排序，求逆序数


class Solution {public:vector<int> countSmaller(vector<int>& nums) {vector<pair<int, int>> vec;vector<int> count;for(int i=0; i<nums.size(); ++i){vec.push_back(make_pair(nums[i],i));count.push_back(0);}merge_sort(vec,count);return count;}
private:void merge_sort_two(vector<pair<int, int>>& sub_vec1, vector<pair<int, int>>& sub_vec2, vector<pair<int,int>>&vec, vector<int>& count){int i=0; int j=0;while(i<sub_vec1.size() && j<sub_vec2.size()){if(sub_vec1[i].first <= sub_vec2[j].first){count[sub_vec1[i].second] += j;vec.push_back(sub_vec1[i]);++i;}else{vec.push_back(sub_vec2[j]);++j;}}for(; i<sub_vec1.size();++i){count[sub_vec1[i].second] += j;vec.push_back(sub_vec1[i]);}for(; j<sub_vec2.size();++j){vec.push_back(sub_vec2[j]);}}void merge_sort(vector<pair<int,int>>& vec, vector<int>&count){if(vec.size()<2) return;int mid = vec.size()>>1;vector<pair<int,int>> sub_vec1;vector<pair<int,int>> sub_vec2;for(int i=0; i<mid; ++i){sub_vec1.push_back(vec[i]);}for(int i=mid; i<vec.size();++i){sub_vec2.push_back(vec[i]);}merge_sort(sub_vec1,count);merge_sort(sub_vec2,count);vec.clear();merge_sort_two(sub_vec1,sub_vec2,vec,count);}
};

对于分治和回溯，目前来看都是基于递归树【二叉树或者多叉树】的构建思路，在复杂度较高的情况下，考虑生成剪枝算法抑制树的形状。

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