行列式求值的两种方法—

基本概念：

行列式是数，矩阵是一个式子！！！

余子式与代数余子式：

余子式：在 n 阶行列式中，把某个元素所在的行列都去掉之后，剩下的 n-1 阶行列式就叫做该元素的余子式：

代数余子式：

基本性质：

性质1：互换行列式的两列（或两行），行列式仅改变符号。

性质2：行列式某行（或某列）的 k 倍加到另一行（或列）上，行列式不变。

性质3：行列式等于它的任意列（或行）各个元素与其对应代数余子式乘积的和。

算法一：（时间有限，具体原理后期补充）

运用性质1、性质2。

 public static double GetLineTran(double[][] p, int n) {if (n == 1) return p[0][0];double exChange = 1.0; // 记录行列式中交换的次数boolean isZero = false; // 标记行列式某一行的最右边一个元素是否为零for (int i = 0; i < n; i ++) {// i 表示行号if (p[i][n - 1] != 0) { // 若第 i 行最右边的元素不为零isZero = true;if (i != (n - 1)) { // 若第 i 行不是行列式的最后一行for (int j = 0; j < n; j ++) { // 以此交换第 i 行与第 n-1 行各元素double temp = p[i][j];p[i][j] = p[n - 1][j];p[n - 1][j] = temp;exChange *= -1.0;}}break;}}if (!isZero) return 0; // 行列式最右边一列元素都为零，则行列式为零。for (int i = 0; i < (n - 1); i ++) {// 用第 n-1 行的各元素，将第 i 行最右边元素 p[i][n-1] 变换为 0，// 注意：i 从 0 到 n-2，第 n-1 行的最右边元素不用变换if (p[i][n - 1] != 0) {// 计算第  n-1 行将第 i 行最右边元素 p[i][n-1] 变换为 0的比例double proportion = p[i][n - 1] / p[n - 1][n - 1];for (int j = 0; j < n; j ++) {p[i][j] += p[n - 1][j] * (- proportion);}}}return exChange * p[n - 1][n - 1] * GetLineTran(p, (n - 1));}

算法二：（时间有限，具体原理后期补充）

运用性质3。

public static double GetValue(double[][] p, int n) {if (n == 1)  // 如果是一阶行列式,直接返回该元素return p[0][0];double sum = 0; // 累加求和变量for (int j = 0; j < n; j++) {// 遍历最后一行各元素,p[n - 1][j]int pt = (n - 1) + j;  // 符号判断指数double[][] p1 = new double[n][n];// 此过程是为了把行列式存放到临时数组中，不改变但前行列式for (int row = 0; row < n; row++) {for (int col = 0; col < n; col++) {p1[row][col] = p[row][col];  }}// 此过程，是为了将元素 p[n-1][j] 所在列之后的每一列向前移动一列，为后面获取该元素对应的余子式做准备for (int index = 0; index < n - 1; index++) {for (int index1 = j; index1 < n - 1; index1++) {p1[index][index1] = p1[index][index1 + 1]; }}// 此过程，截取临时数组 p1 左上角 n-1  阶行列式，提取元素 p[n-1][j] 的余子式double[][] temp = new double[n - 1][n - 1];for (int row = 0; row < n - 1; row++) {for (int col = 0; col < n - 1; col++) {temp[row][col] = p1[row][col];}}// 求和：sum += 元素 * 符号 * 余子式// 因为，余子式是去除某一元素所在的行和列之后剩下的元素构成的 n-1 阶行列式// 即，余子式本质还是行列式，所以需要递归求行列式的值sum += p[n - 1][j] * Math.pow(-1, pt) * GetValue(temp, n - 1);// System.out.println(p[n - 1][j] + " * " + Math.pow(-1, pt) + " * " + GetValue(p1, n - 1));}return sum;}

运行效果：

double[][] test = {{1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 1}, {3, 4, 1, 2}, {4, 1, 2, 3}};The first method's result is : 160.00. Took 20081 nanoseconds.
The second method's result is : 160.00. Took 144583 nanoseconds.

总结：

算法 2 在精度上较好，但计算的阶数有限；运算速度上，算法 1 远远高于算法 2。因此，若求解低阶线性方程组，且要求的计算精度较高，可采用算法 2；若求解高阶线性方程组，可采用算法 1。

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性质1：互换行列式的两列（或两行），行列式仅改变符号。

性质2：行列式某行（或某列）的 k 倍加到另一行（或列）上，行列式不变。

性质3：行列式等于它的任意列（或行）各个元素与其对应代数余子式乘积的和。

算法一：（时间有限，具体原理后期补充）

算法二：（时间有限，具体原理后期补充）

运行效果：

总结：

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