文章目录

1、校验码的基本概念
2、奇偶校验码
3、海明码
- 3.1 校验码的个数
- 3.2 校验码的位置
- 3.3 校验关系
- 3.4 计算校验码的值
- 3.5 检错与纠错

1、校验码的基本概念

名不正则言不顺，要想真正理解校验码的原理，那就必须要搞清楚相关的概念！

首先，通过下面这个图，认识一下校验码在信息传输中的位置。看懂了这个图，能更好的理解在信息传输中，为什么需要校验码，以及校验码到底做了什么！

原数据：就是真正需要正确传输的数据；比如，某人的年龄 23 岁，这个 23 就是原数据；
校验码：为了让传递的数据，具有一定的检错和纠错能力，添加的辅助信息；
编码数据：实际传输的数据，由原数据和校验码两部分组成；
合法编码：数据正确传输时，可能出现的全部编码的集合；
错误编码：数据传输出错时，可能出现的全部编码的集合；

上面这些描述，还是有些不够直观，下面通过一个例子，细说一下：

场景说明：

某男子 A，需要将自己的年龄信息，传递给女子 B，传递信息的方式，只有一种，就是通过装着与其年龄相等的沙粒的盒子，传输过程中，无法避免沙粒丢失或增加。

原数据：为代表着男子 A 年龄的数字，也就是 23。
合法编码：所有自然数；
错误编码：无；所有的数字都认为是合法的
码距：合法编码（自然数）之间的距离，也就是 1；

数据编码 = 合法编码 + 错误编码；
码距 = 数据编码 / 合法编码

可见，错误编码越多，码距越大，比如奇偶检验码的码距为2，码距越大检错和纠错的能力越强！

如果不进行任何的编码校验，直接在盒子中放 23 粒沙子，那么女子 B 收到盒子后，数一下沙粒的个数，就可以得到男子 A 的年龄。问题是，传递过程是不安全的，女子得到的男子的年龄信息也就不可靠了，本来是 23，最后可能变成了 32，也可能是 82，后果非常严重！

由于男子 A 是一名程序员，当他意识到问题的严重性时，决定使用 校验码 的机制来提高数据的检错与纠错能力。

原数据：23
合法编码：所有能整除 10 的数字；
错误编码：所有不能整除 10 的数字；
码距：合法编码之间的距离，10

通过这种方式，传输的数据具有了很强的检错能力，所有不能整除 10 的数目，都是错误数据（也就是错误编码）；同时，也具有了一定的纠错能力，比如，通过沙粒总数除以10取整的方式，可以纠错所有新增不超过10个沙粒的传输错误。

2、奇偶校验码

奇偶校验是一种简单有效的校验方法，这种方法通过在编码中增加一位校验位来使编码中 1 的个数为奇数（奇校验）或者为偶数（偶校验），从而使码距变为 2 。

例如，原数据为 23，二进制编码为 10111

例如，添加偶校验之后，编码数据包括校验码和数据码，详细信息如下图所示：

奇偶校验码可以检测编码中的错误编码，但是编码在传输中发生错误后转换成了另外一个合法编码的情况，奇偶校验是无法检测出来的。

例如，23 在偶校验的情况下编码为 010111，当发生两位错误变成 010100 时，接收到数据后，仍然认为是合法编码，解码后得到的结果为 20。

3、海明码

海明码是一种设计非常精巧的校验码，由贝尔实验室设计，同时，它也是利用奇偶性来检错和纠错。

一种校验码算法，总是要解决以下几个核心问题：

确定校验码的个数
确定校验码的位置
确定校验码的校验对象
计算校验码的值

顺着这几个问题，就可以一步步的、轻松的解开海明码的设计原理。

3.1 校验码的个数

海明码是通过在数据位之间的特定位置上插入 k 个校验位，以此扩大数据编码的码距，实现对数据编码的检错和纠错。

那么问题来了，当给定 n 个数据位时，海明码需要插入几个校验码呢？请记住下面这个公式：

2k−1≥n+k2^k-1 \geq n + k 2k−1≥n+k

其中 n 是数据位的个数，k 为校验位的个数。比如当数据是 101010 时，数据位为 6。

例如数据为 23，那么确定 k 的大小的过程：

当 k = 1 时，21−1≥23+1{2^1-1 \geq 23 +1 }21−1≥23+1 不成立；
当 k = 2 时，22−1≥23+2{2^2-1 \geq 23 +2 }22−1≥23+2 不成立；
当 k = 3 时，23−1≥23+3{2^3-1 \geq 23 +3 }23−1≥23+3 不成立；
当 k = 4 时，24−1≥23+4{2^4-1 \geq 23 +4 }24−1≥23+4 不成立；
当 k = 5 时，25−1≥23+5{2^5-1 \geq 23 +5 }25−1≥23+5 成立；

因此，可以确定当数据位个数为 23 时，海明码需要 5 个校验码！

至于为什么是这个公式，后面再慢慢解释，先记住它，这就是海明码确定校验码个数的方法！

3.2 校验码的位置

当确定了校验码的个数后，这些校验码放在什么位置上呢？

首先，编码数据包含原数据和校验数据，当知道了原数据个数和校验码的个数之后，就知道了编码数据的总位数，对编码数据位号进行二进制编码，这些二进制编码中包含数字 1 的总个数为 1 的编码所处的位置，就是校验码的位置。

文字描述很晦涩，下面举例说明：

数据位 23 个，需要校验码 5 个，总数为 28，对这28个数的序号进行二进制编码：

如上图所示，校验码的位置分别为 1,2,4,8,16（这些位置上对应的二进制编码中包含1 的个数为 1，剩下的全部为 0），也就是说在总共 28 个数据位中，第 1,2,4,8,16 位置的数据是校验码，其他的位置是数据，也就是说 23 个数据中，第 1 个数据位在海明码中的位置为 3，因为 1，2 位置是校验码。

3.3 校验关系

海明码本质上仍然是利用的奇偶校验的特性，对于奇偶校验，编码数据中只能有一个校验码，其他为数据码。海明码通过插入多个校验码的方式来扩大码距，但是仍然不能违背奇偶校验的原则，也就是说一组奇偶校验编码数据中，只能包含一个校验码。这件事情非常重要。

那么，海明码是如何确定校验码与被校验数据之间的关系呢？看下图：

通过上图，可以很直观的看到以下信息：

有几个校验码，就会有几个奇偶校验组；
每个校验组关联的数据是其所在列序号的二进制码中包含 1 的序号；

正是基于这种映射机制，所以才有上面几步中，确定校验码个数和确定校验码位置的逻辑。

3.4 计算校验码的值

海明码是基于奇偶校验，默认是使用偶检测，因为使用偶检测在纠错的时候更方便。

通过上面三个步骤，知道了校验码的个数和位置，也知道了奇偶校验的关系，接下来就可以对每一组数据执行偶校验，然后将结果填写到校验码对应的位置！

下面，举一个简单的例子：设数据为 01101001，总共 8 位，也就是说 n = 8，根据公式 2k−1≥n+k{2^k-1 \geq n + k }2k−1≥n+k 可求得 k 的值应该位 4。

根据上面的步骤，可以求得下图所示的映射关系图：

将数据 01101001 按顺序填入到海明码对应的位置，结果如下：

接下来，就是根据映射关系来计算校验位的值：

奇偶校验组 1，根据偶校验的定义，要保证所有元素中包含 1 的个数位偶数个，因此，校验位的值必须为 1！

同样的逻辑，最终可得海明码为：

上面的示例，原题如下：

3.5 检错与纠错

当接收到海明码时，需要对各个校验组进行奇偶校验，以偶校验为例。

仍然以上衣步骤中的例子来举例，分别对 { 校验组 1，校验组 2，校验组 3，校验组 4 } 中的元素进行偶校验，得到结果分别为 G1, G2, G3, G4 。

当所有结果都是 0 的时候，说明海明码为合法编码，数据传输正确；当结果中不全为 0 时，说明发生了错误，得到的编码为错误编码。

那么当发生错误的时候，如何进行纠错呢？

将偶校验的结果进行二进制编码，形式为 G4G3G2G1，其对应二进制的值，就是发生错误的位置，比如偶校验的结果：

G1 = 0
G2 = 1
G3 = 0
G4 = 1

可得到二进制数 G4G3G2G1 = 1010，十进制数为 10，那么说明，海明码的第十位数出错了，将其取反就可以纠错了！

至于为什么，看一下这个图就明白了：

海明码可以检测出两位错，但是只能纠正一位错！

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