刷算法题遇到二进制就非常之头疼，故在此做一个学习记录：

文章目录

一、进制
二、二进制运算法则
- 1. 算术运算（加减乘除）
- 2. 逻辑运算
三、进制转换
- 1. 权的概念
- - （1）基本概念
  - （2）数字按权展开
- 2. 进制转换
- - （1）按权展开凑数法——其他进制转换为十进制
  - （2）短除法——十进制转换为其他进制
- 3. 十进制负数的进制转换
- - （1）原码、反码、补码
  - （2）负数的进制转换
四、移位运算
参考文献

一、进制

进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法，对于任何一种进制—X进制，就表示每一位上的数运算时都是逢X进一位。
我们平时所使用的计数法则为十进制，即个位满10就向高位进一位，十位为1，个位回到0；二进制就是满2时向高位进1位，当前位置为0。
“数制”只是一套符号系统来表示指称“量”的多少。我们用“1”这个符号来表示一个这一“量”的概念。自然界的“量”是无穷的，我们不可能为每一个“量”都造一个符号，这样的系统没人记得住。所以必须用有限的符号按一定的规律进行排列组合来表示这无限的“量”。符号是有限的，这些符号按照某种规则进行排列组合的个数是无限的。十进制是10个符号的排列组合，二进制是2个符号的排列组合。

二、二进制运算法则

1. 算术运算（加减乘除）

二进制的加减乘除与十进制基本相同，只是数字的表示方法不一样。

（1）二进制的加法：0+0=0，0+1=1 ，1+0=1， 1+1=10(向高位进位)；
（2）二进制的减法：0-0=0，10-1=1(向高位借位) 1-0=1，1-1=0 (模二加运算或异或运算) ；
（3）二进制的乘法：0 * 0 = 0　0 * 1 = 0，1 * 0 = 0，1 * 1 = 1
（4）二进制的除法：0÷0 = 0，0÷1 = 0，1÷0 = 0 (无意义)，1÷1 = 1 ；

由于四位二进制可以表示为一位十六进制，故一般将二进制按四位进行分段表示

2. 逻辑运算

（1）二进制的或运算：遇1得1 （存真则真）
（2）二进制的与运算：遇0得0 （遇假则假）
（3）二进制的非运算：各位取反

三、进制转换

1. 权的概念

（1）基本概念

“权”就是进制为基底的n次幂，如二进制的权就是（2）^n 、十进制的权就是（10）^n
看到十进制我们就很自然的想到科学计算法中的（10）^n。有了权这个定义之后，我们就可以随便把一个进制的数转化成另一个进制的数了。日常生活中，由于电脑的字节，汉字西文的字节的原因，二进制最常见的转换是八进制，十六进制，三十二进制和十进制。

（2）数字按权展开

任何进制中，每个数都可以按位权展开成各个数位上的数字乘以对应数位的位权，再相加的形式，如：
十进制的123=1×100+2×10+3×1
十进制的9876=9×1000+8×100+7×10+6×1
十进制，满十进一，再满十再进一，因此要想进到第三位，得有10×10；第4位得有10×10×10
这样我们就知道了：
（1）对10进制，从低位到高位，依次要乘以10^0 、10^1 、10^2、 10^3……，也就是1、10、100、1000
（2）对2进制，从低位到高位，依次要乘以2^0 、2^1 、2^2 、2^3……，也就是1、2、4、8、……
模仿上面十进制按位权展开的方式，把二进制数1011按权展开：

1011=1×2^3+0×22+1×2^1+1×20=1×8+0×4+1×2+1×1=8+2+1=11

2. 进制转换

以二进制为例，其他进制均是类似的方法

（1）按权展开凑数法——其他进制转换为十进制

一个数字可以展开为各个数位上的数字乘以对应数位的位权，得到的数值即为十进制。

十进制数：1234 = 1 * 10^3 + 2 * 10^2 + 3 * 10^1 + 4 * 10^0
二进制数：1011=1×2^3 + 0×2^2 +1×2^1 +1×2^0=11

（2）短除法——十进制转换为其他进制

将一个十进制数的商递归除以要转换的进制数（二进制为2），余数倒排即可，下图中6的二进制数即为110，转换为其他进制也是同理。

120转换为8进制，结果为：170

特别的，16进制就是逢16进1，但我们只有0~9这十个数字，所以我们用A，B，C，D，E，F这六个字母来分别表示10，11，12，13，14，15，字母不区分大小写。

3. 十进制负数的进制转换

（1）原码、反码、补码

正数的原码、反码、补码相同！
（1）负数的原码：一个负数按绝对值大小转为二进制数，再在最高位上补1，即可得到负数的原码
（2）负数的反码：原码除符号位外，各位取反
（3）负数的补码：原码除符号位外，各位取反，最后一位再加1
（负数在计算机中按补码形式表示）

（2）负数的进制转换

正数转换为二进制后，最高位补1，就得到负数转换后的二进制数。

四、移位运算

左移运算符（<<）
按二进制形式把所有的数字向左移动对应的位数，高位移出(舍弃)，低位的空位补零。例如： 1 << i，则是将数字1左移i位
位与运算
n&（1<<i）：通过位与运算用1来检验数字n二进制的i位置上是1还是0

参考文献

二进制的运算法则
进制转换
负数的二进制转换方法

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