【Codeforces Round #531 (Div. 3) F. Elongated Matrix】状压DP

F. Elongated Matrix

题意

给你一个n行m列的矩阵，我们由第一行第一列出发，从上向下走完第一列，之后再从第二行第一列出发，重复这个过程直到所有的格子都走完，我们可以得到一个路径序列，定义k为序列中所有相邻两数值的差的绝对值的最小值，现在我们可以交换矩阵的每一行，问交换之后k最大是多少。

1<=n<=161<=n<=161<=n<=16
1<=m<=1041<=m<=10^41<=m<=104
做法

首先我们想一个暴力一点的做法，如果能枚举所有行的交换情况，那么我们只要算出是否相邻两行满足条件及第一行和最后一行满足条件即可，但是n=16明显不可以，之后我们只枚举第一行和最后一行，并对中间的所有行建边，边权就是能让这两行相邻的最大的k，那么如果我们可以通过这些边从第一行走到最后一行，这条路径上所有边权的最小值就是答案，问题就转换为一个有向图，给定起点终点，求哈密顿回路，我们设dp[i][j][k]为i状态下j为起点k为终点的路径上的最小值，定义vis[i][j][k]为状态i下j为起点是否可以到达k，之后我们就可以类似经典的状压dp做出这道题。
首先，dp的初始状态要把每个点到自己本身联通，也就是

 for(int i=1;i<=n;i++)  vis[1<<(i-1)][i][i]=1;

从小到大枚举所有状态，在每种状态中，枚举所有可能为起点的j，再枚举所有当前状态不包含的点k，对于每个k，再去找每个存在于状态i中的p，设minn[i][j]为i->j连边的最小差的绝对值，那么我们可以得到转移方程

 dp[i+(1<<(k-1))][j][k]=max(dp[i+(1<<(k-1)),dp[i][j][p]+minn[p][k])

最后对所有状态为1<<(n-1)的dp值，求出让首尾合法的k，再取min即可。

坑点
当只有一行的时候需要特判掉。
代码

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e5+5;
int dp[1<<16][17][17];
int vis[1<<16][17][17];
int minn[17][17];
int minn2[17][17];
int pic[17][10005];
int main()
{int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){scanf("%d",&pic[i][j]);}}if(n==1){int ans=INF;for(int i=2;i<=m;i++) ans=min(ans,abs(pic[1][i]-pic[1][i-1]));printf("%d",ans);return 0;}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){minn[i][j]=INF;minn2[i][j]=INF;for(int k=1;k<=m;k++){minn[i][j]=min(minn[i][j],abs(pic[i][k]-pic[j][k]));}for(int k=2;k<=m;k++){minn2[i][j]=min(minn2[i][j],abs(pic[i][k]-pic[j][k-1]));}}}for(int i=1;i<=n;i++)vis[1<<(i-1)][i][i]=1;int ans=0;for(int i=1;i<(1<<n);i++){int cnt=0;for(int j=1;j<=n;j++){if(i&(1<<(j-1))){cnt++;}}if(i==(1<<n)-1){for(int j=1;j<=n;j++){for(int k=1;k<=n;k++){if(vis[i][j][k]) ans=max(ans,min(dp[i][j][k],minn2[j][k]));}}}for(int j=1;j<=n;j++){for(int k=1;k<=n;k++){if(vis[i][j][k]==0) continue;for(int p=1;p<=n;p++){if(i&(1<<(p-1))) continue;vis[i+(1<<(p-1))][j][p]=1;if(cnt==1) dp[i+(1<<(p-1))][j][p]=max(dp[i+(1<<(p-1))][j][p],minn[k][p]);else dp[i+(1<<(p-1))][j][p]=max(dp[i+(1<<(p-1))][j][p],min(minn[k][p],dp[i][j][k]));}}}}printf("%d\n",ans);return 0;
}

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