一维区间上的求积公式

区间 [a,b][a,b][a,b] 上带权函数 ρ(x)\rho(x)ρ(x) 的插值型求积公式的一般形式为
I(f)=∫abρ(x)f(x)dx≈∑k=0nAkf(xk)(1)I(f) = \int^b_a \rho(x) f(x) dx \approx \sum_{k=0}^nA_k f(x_k) \tag{1}I(f)=∫abρ(x)f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk)(1)
其中 xk,Ak(k=0,1,2,⋯,n)x_k, A_k(k=0,1,2,\cdots,n)xk,Ak(k=0,1,2,⋯,n) 为 2n+22n+22n+2 个待定参数。

若求积公式 (1)(1)(1) 对一切不高于 mmm 次的多项式 p(x)p(x)p(x) 都精确成立，并且存在一个 m+1m+1m+1 次多项式，使得求积公式不精确成立，则称该求积公式的代数精度为 mmm. 可以证明，通过恰当地选择节点 xkx_kxk 和系数 AkA_kAk, 最高能使 I(f)I(f)I(f) 的代数精度达到 2n+12n+12n+1.

高斯积分

使求积公式 (1)(1)(1) 达到最高代数精度 2n+12n+12n+1 的求积公式称为高斯型求积公式。节点 xkx_kxk 称为高斯点，系数 AkA_kAk 称为高斯系数。

高斯-勒让德积分

对于高斯型求积公式，如果权函数 ρ(x)=1\rho(x)=1ρ(x)=1, 则称相应的求积公式为高斯-勒让德积分公式，即
∫−11f(x)dx≈∑k=0nAkf(xk).\int^1_{-1} f(x) dx \approx \sum_{k=0}^nA_k f(x_k).∫−11f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk).
高斯点 xkx_kxk 取为勒让德多项式的零点，高斯系数可以查表得到。

如果积分区间是 [a,b][a,b][a,b], 将积分变量 x∈[a,b]x\in[a,b]x∈[a,b] 做如下的线性变换
x=b−a2t+a+b2x = \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}x=2b−at+2a+b
将积分区间从 [a,b][a,b][a,b] 转换至 [−1,1][-1,1][−1,1]，于是得到
∫abf(x)dx=b−a2∫−11f(b−a2t+a+b2)dt.\int^b_a f(x) dx = \frac{b-a}{2}\int^{1}_{-1} f\left( \frac{b-a}{2}t + \frac{a+b}{2}\right) dt.∫abf(x)dx=2b−a∫−11f(2b−at+2a+b)dt.
这样就可以用高斯-勒让德求积公式计算一般区间的积分。

高斯-切比雪夫积分

高斯-切比雪夫积分的权函数 ρ(x)=11−x2,x∈[−1,1],\rho(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, x\in [-1,1],ρ(x)=1−x21,x∈[−1,1], 那么
∫−11f(x)1−x2dx≈∑k=0nAkf(xk),\int^1_{-1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k),∫−111−x2f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk),
其中 xk(k=0,1,⋯,n)x_k (k=0,1,\cdots,n)xk(k=0,1,⋯,n) 是 n+1n+1n+1 阶切比雪夫多项式 Tn+1(x)=cos⁡[(n+1)arccos⁡x]T_{n+1}(x)=\cos [(n+1)\arccos x]Tn+1(x)=cos[(n+1)arccosx] 的零点
xk=cos⁡2k+12n+2π,k=0,1,⋯,nx_k = \cos \frac{2k+1}{2n+2}\pi,\quad k=0,1,\cdots,nxk=cos2n+22k+1π,k=0,1,⋯,n
求积系数是
Ak=πn+1,k=0,1,⋯,n.A_k = \frac{\pi}{n+1},\quad k=0,1,\cdots,n.Ak=n+1π,k=0,1,⋯,n.

高斯-拉盖尔积分

高斯-拉盖尔积分的权函数 ρ(x)=e−x,x∈[0,+∞).\rho(x)=e^{-x}, x\in[0,+\infty).ρ(x)=e−x,x∈[0,+∞). 那么
∫0∞e−xf(x)dx≈∑k=0nAkf(xk),\int^\infty_0 e^{-x} f(x) dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k),∫0∞e−xf(x)dx≈k=0∑nAkf(xk),
积分点和求积系数可以查表得到。根据上式，可以得到
∫0∞f(x)dx=∫0∞e−xexf(x)dx=∫0∞e−xF(x)dx≈∑k=0nAkF(xk),\int^\infty_0 f(x) dx = \int^\infty_0 e^{-x} e^{x} f(x) dx = \int^\infty_0 e^{-x} F(x) dx \approx \sum_{k=0}^n A_k F(x_k),∫0∞f(x)dx=∫0∞e−xexf(x)dx=∫0∞e−xF(x)dx≈k=0∑nAkF(xk),
其中 F(x)=exf(x)F(x) = e^xf(x)F(x)=exf(x). 对于 [a,+∞)[a,+\infty)[a,+∞) 区间上的积分 ∫a∞e−xf(x)dx\int^\infty_a e^{-x}f(x)dx∫a∞e−xf(x)dx, 通过变量代换 x=a+tx=a+tx=a+t, 将 x∈[a,∞)x\in[a,\infty)x∈[a,∞) 变为 t∈[0,∞)t\in [0,\infty)t∈[0,∞), 再利用高斯-拉盖尔求积公式计算积分
∫a∞e−xf(x)dx=∫0∞e−(a+t)f(a+t)dt=e−a∫0∞e−tf(a+t)dt.\int^\infty_a e^{-x}f(x) dx = \int^\infty_0 e^{-(a+t)} f(a+t) dt =e^{-a} \int^\infty_0 e^{-t} f(a+t) dt .∫a∞e−xf(x)dx=∫0∞e−(a+t)f(a+t)dt=e−a∫0∞e−tf(a+t)dt.

高斯-厄米特积分

高斯-厄米特积分的权函数 ρ(x)=e−x2,x∈(−∞,+∞).\rho(x)=e^{-x^2}, x\in(-\infty,+\infty).ρ(x)=e−x2,x∈(−∞,+∞). 那么
∫−∞∞e−x2f(x)dx≈∑k=0nAkf(xk),\int^\infty_{-\infty} e^{-x^2} f(x) dx \approx \sum_{k=0}^n A_k f(x_k),∫−∞∞e−x2f(x)dx≈k=0∑nAkf(xk),
积分点和求积系数可以查表得到。

附录

正交多项式

正交多项式 Pn(x),n=0,1,2,⋯,P_n(x), n = 0,1,2,\cdots,Pn(x),n=0,1,2,⋯, 具有如下性质：

对每一个 nnn, Pn(x)P_n(x)Pn(x) 是 nnn 次多项式；
∫abρ(x)Pi(x)Pj(x)dx=0,i≠j\int^b_a \rho(x) P_i(x) P_j(x) dx = 0, i\neq j∫abρ(x)Pi(x)Pj(x)dx=0,i=j;
对任意一个次数不大于 n−1n-1n−1 的多项式 P(x)P(x)P(x), 有
∫abρ(x)P(x)Pn(x)dx=0,n≥1\int^b_a \rho(x) P(x) P_n(x) dx = 0, n\geq 1∫abρ(x)P(x)Pn(x)dx=0,n≥1
Pn(x)P_n(x)Pn(x) 在 (a,b)(a,b)(a,b) 内有 nnn 个互异零点。

利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：

以 n+1n+1n+1 次正交多项式的零点 x0,x1,⋯,xnx_0,x_1,\cdots,x_nx0,x1,⋯,xn 作为积分点（高斯点）；
用高斯点 x0,x1,⋯,xnx_0,x_1,\cdots,x_nx0,x1,⋯,xn 对 f(x)f(x)f(x) 做拉格朗日插值多项式
f(x)≈∑k=0nlk(x)f(xk)f(x)\approx \sum_{k=0}^n l_k(x) f(x_k)f(x)≈k=0∑nlk(x)f(xk)
代入积分式
∫abρ(x)f(x)dx≈∫abρ(x)[∑k=0nlk(x)f(xk)]dx=∑k=0n[∫abρ(x)lk(x)dx]f(xk).\int^b_a \rho(x) f(x)dx \approx \int^b_a \rho(x)\left[ \sum_{k=0}^n l_k(x) f(x_k)\right] dx\\ = \sum_{k=0}^n \left[ \int^b_a \rho(x) l_k(x) dx \right] f(x_k).∫abρ(x)f(x)dx≈∫abρ(x)[k=0∑nlk(x)f(xk)]dx=k=0∑n[∫abρ(x)lk(x)dx]f(xk).
因此，求积系数为
Ak=∫abρ(x)lk(x)dx,k=0,1,⋯,n.A_k = \int^b_a \rho(x) l_k(x) dx,\quad k =0,1, \cdots,n. Ak=∫abρ(x)lk(x)dx,k=0,1,⋯,n.

参考资料

[1] 高斯(Gauss)求积公式
[2] 高斯-勒让德公式-中南大学

常见高斯型求积公式简介相关推荐

5.5 高斯型求积公式简历
学习目标: 我会按照以下步骤学习高斯求积公式简介: 理解积分的概念:学习什么是积分以及积分的几何和物理意义,如面积.质量.电荷等概念. 掌握基本的积分技巧:掌握基本的积分公式和技巧,如换元法.分部积分 ...
Java开源——常见J2EE框架简介
Java开源--常见J2EE框架简介 Spring Framework Spring是一个解决了许多在J2EE开发中常见的问题的强大框架. Spring提供了管理业务对象的一致方法并且鼓励了注入对接口 ...
IoT物联网嵌入式设备中30种常见传感器模块简介及原理讲解
IoT物联网嵌入式设备中30种常见传感器模块简介及原理讲解 0.前言一.光学传感器模块: 1. 光敏传感器模块: 2. 红外避障模块 3. 循迹传感器模块 4. U型光电传感器模块 5. 红外接收模 ...
常见项目管理组织机构简介
常见项目管理组织机构简介一.职能型组织职能型组织如下图所示,一般适用于业务比较固定的企业,如国企或流水生产制造行业,这种企业工作任务一般由职能经理安排就可以,当然,现在国企也在转变,不一定是全职能 ...
[ZT]网站十种常见盈利模式简介
网站十种常见盈利模式简介网站是如何盈利的?有多少种好的盈利方式?如果我想运营一个网站怎样如何寻找盈利点?我适合做哪一种网站?相信这样的问题是众多网站运营者或对网站运营感兴趣的朋友所关注的,下面对一些 ...
Excel常见高级公式
Excel常见高级公式目录 MID函数 MID(A1, 4, 2) MID(Sheet1!A2,4,2) TEXT函数 TEXT(A1,"yyyy-MM-dd HH:mm:ss" ...
matlab上确界距离,常见距离公式的MATLAB代码（一）
常见距离公式的MATLAB代码(一) 大家好! 最近在研究小样本聚类,作为一个初学者,首先肯定是学习一下它的预备知识距离公式啦~在了解了各种距离公式的定义之后,想要看下它们的代码是怎么写的,但是网上大 ...
常见距离公式的MATLAB代码（一）
常见距离公式的MATLAB代码(一) 大家好! 最近在研究小样本聚类,作为一个初学者,首先肯定是学习一下它的预备知识距离公式啦~在了解了各种距离公式的定义之后,想要看下它们的代码是怎么写的,但是网上大 ...
Mathjax与LaTex公式简介
总结得很全面,转载过来以备经常查用 Mathjax与LaTex公式简介
组合恒等式7 组合变换的互逆公式简介与简单例子
组合恒等式7 组合变换的互逆公式双重求和可以交换次序互逆公式的证明应用互逆公式证明组合恒等式类似离散序列的Z变换,我们也可以定义以组合数为系数的组合变换,一个直观的例子是 bk=∑i=0k(− ...

常见高斯型求积公式简介