多元函数的切向量和法向量

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有一个很有启发性的说法：考虑描述曲面的隐函数F(x,y,z)=0
其全微分dF=F'xdx+F'ydy+F'zdz=0 即（F'x，F'y，F'z）（dx,dy,dz）=0

（F'x，F'y，F'z）是曲线的法向量，（dx,dy,dz）则是曲线的切向量。

1 对曲面而言，求各变量在某一点的偏导数，即为这一点的法向量。

切向量我们假设以x为变量（参数），则切向量为（1,0,Zx)。以y为变量，则切向量为（0，1，Zy)。

验证以x为参数的切向量（1，0，Zx）：因为Zx = -Fx/Fz，而法向量为（Fx,Fy,Fz)。所以 1*Fx + 0 * Fy + (-Fx/Fz) * Fz = 0，所以两者正交，证毕。
其余同理。

2 而对于平面曲线而言，我们可以考虑其为，缺少的那一维向量的无限延伸，这样无论是封闭曲线还是不封闭曲线都可以抽象成一个曲面，这样求各变量的在某一点的偏导数既为这一点的法向量。（内外法向加一个正负进行区分）

而平面曲线的切向量可以按照这种方法去考虑：把x看做变量，y为因变量，然后求y对x的偏导数，则切向量即为（1，Yx)。

3 对于空间曲线，只考虑两个曲面给出一个方程组的形式。 F1(x,y,z) = 0, F2(x,y,z) = 0。

切线求法1：可以将x理解为自变量，y和z为x的因变量（自变量可以随便去选），然后分别求因变量关于自变量的偏导数，然后得出一点的切线向量（1，Yx, Zx)。（三种形式）

切线求法2：求出两个曲面的法向量，然后做差乘（向量积），结果也是切线向量。

求x^2-y+z^2=1和x+y^2+z=-1两曲面的交线在p(-1,1,-1)处的切向量？

只需要让两个式子对x求导即可。因为我们需要知道（dx,dy,dz）与dx的关系。

联立两个方程 2x-dy/dz+2zdz/dx=0和1+2ydy/dx+dz/dx=0得到dy=0*dx dz=-1*dx

则切向量为（dx,0,-dx）---(1,0,-1)

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