总方差公式(方差分解公式)证明

验证总方差公式 var(X)=E[var(X∣Y)]+var(E[X∣Y])var(X) = E[var(X|Y)] + var(E[X|Y])var(X)=E[var(X∣Y)]+var(E[X∣Y]).

主要要知道基本的公式 var(X)=E[X2]−(E[X])2var(X) = E[X^2]-(E[X])^2var(X)=E[X2]−(E[X])2 以及 E[E[X∣Y]]=E[X]E[E[X|Y]] = E[X]E[E[X∣Y]]=E[X]. 然后可以完成证明.

之后看等号右边第二项, 因为
var(E[X∣Y])=E[(E[X∣Y])2]−(E[E[X∣Y]])2=E[(E[X∣Y])2]−(E[X])2\begin{aligned} var(E[X|Y]) &= E[(E[X|Y])^2] - (E[E[X|Y]])^2 \\ &=E[(E[X|Y])^2] - (E[X])^2 \end{aligned} var(E[X∣Y])=E[(E[X∣Y])2]−(E[E[X∣Y]])2=E[(E[X∣Y])2]−(E[X])2
所以,
E[var(X∣Y)]+var(E[X∣Y])=E[X2]−(E[X])2=var(X)\begin{aligned} &E[var(X|Y)] + var(E[X|Y])\\ =&E[X^2]-(E[X])^2 \\ =&var(X) \end{aligned} ==E[var(X∣Y)]+var(E[X∣Y])E[X2]−(E[X])2var(X)

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