参考资料：Stein复分析第8章的Problems4

本节我们证明如下定理：

首先我们回顾一下笔记(10)的内容.

fjddy：复变函数学习笔记(10)——共形映射、单叶解析函数​zhuanlan.zhihu.com

下面为方便起见, 记单位圆盘为

命题8.2.3 记

则

在这个命题里我们顺便说明了

定理8.2.4

---

回顾完成，我们进入正题！

定义1 形如

且满足如下条件的矩阵组成的集合记为

这里

换句话说, 对任意的

有

定理1

证明: 记

下面记

有关循环群、商群、正规子群的内容就不在此回顾了, 可以翻一下书看看, 但还是有必要再复习一下群的定义:

定义2 [群]若G关于运算

满足结合律, 且

且G中至少有一个左单位元, 且G中每个元素都有一个左逆元, 则称G是一个

群.命题2

关于矩阵乘法运算构成群.

证明：根据矩阵乘法的性质, 容易验证

下面验证

则

满足

所以

而

命题3

关于函数的复合运算构成群.

证明：首先它是个半群容易验证(简单运算即可)而我们在前面一节已经验证了恒等映射

而

所以

最后, 我们再作如下观察(这些观察还是花了我不少时间想出来的)

定理4 当

时,

证明：留给高中生做课后习题吧. QED

定理5 记

则

证明：事实上, 有如下观察: 对于任意的

注意这里

下面我们就可以用同态基本定理来证明我们所要的命题了. 回顾一下相关定义.

定义3 [同态与同构]设G,H是两个群,

是个映射, 如果

则说

是G到H的一个

同态(homomorphism),
记这个映射的值域

为

的

同态像(image),
记

叫

的

同态核(kernel),
若

是个一一映射, 则称G与H通过同构映射

同构(isomorphism), 记为

终于，我们在这里引入同态基本定理：

定理6 [同态基本定理] 设

是个同态, 则

证明：不是我们这里的重点, 略. QED

定理7

证明：根据前面的定理,

下面验证

根据前面某个定理的计算, 我们有

另外我们有

所以

最后我们只需验证

G的单位元即

根据同态基本定理,

注1：σ不是单射，根据Ker(σ)有两个值立得，所以σ不可能是单射. 事实上ψ_(b/ā)与ψ_((-b)/(-ā))都映为同一个像.（一开始我以为σ是单射，感谢 @风雨阑珊 的提醒，这也暴露了我数理基础薄弱..）

注2： 根据我们在前面证过的定理, 可以立即推出上半平面的情况:

其中

YES!!!!!!!!!!