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广义

波斐那数契列酌性质及推广①张

可鑫李婉徐莹(徽安学大肥合2 3 060 1 )

摘

:要谊对文满足 f 0: =,Y ,= 。+ r3" 0≠的广斐波叉那契数进行列了讨论，运哈用密顿一凯莱定理给出了通公式项解法的，同时广义对斐波那契数的性列进质行探了，讨井分比析了较广叉斐邪契数波列与方阵的幂联系。 关词键：广斐义那契波列数通项公式 哈密顿一凯莱理定中图分类号： O1 7 3文献标码：识 A章编号文： 1 6 74 0— 89 X( 201 3 ) O6 ( )a一 0 32 0 0—1

斐

波那契列满足数初始条件：

=

=

O ,=,l递推关：

系

①或 等于l 不妨，设= 1,根据达韦定理有，九 =一，s此有

时

/=,一 .+ 一：,通项公式 为：=去【 ( ) 一 (三 ) ],文献

,

∑

k

O=

’

【

(y —) ( 1一一 )”(。)

I+一

(S X ) (++1 )】

( )7

1【】记中载了斐 那波契数列多性许及质应用。若假条设放件，宽

设=

②,同时不于等1, 此分时别求两个等数比列之和，有：

Y,==一 +

r s≠0

,称列数{/ }为广义斐波那契数

,列本文通过引入二阶方 阵幂求的解公式，得 广出义斐 波那契数

芝 【=(蹦+

一 ( x s+

】

( 8)

列通

项公式及相关性质。

总结：

广斐义波那契数列 和求的关键，在分析于{} 通的项公 式由哪部几分组成。一 般可为化等差 列数与等比数列积的组合形 式故。广将义斐波契那数列求和变形，如例解求列数{ (一 1 ) }、

1 通项式公的求解

述上递推关系用矩阵运算表示， 即：

令A 1= 0 1},= 一一1,则上 式简记 为=r --, :即

=

二 2] 3广义波那斐契数的列黄金数(

1)

,厂=

{/ 2 }

{、 /}, 限篇干幅 ,笔不一者 7- 1举。1

文[献 1】已证明，斐波契那数列前后两项之的比

极限为

A—

l

A= 2 一

‘

为了

求/出，只求需出，卜 t可即，故通项公式 解转求化为二阶 阵方幂的 求解。

1 i掣m= " '—∞￣ l n

列黄的数金

。

=0. 16 8

这个数叫就黄金 数，记作。∞下面分情 讨况广论义斐波那契数

当①, 4 s+=时， 0

设矩阵

的特A征多项为式厂( ),即，( ) =一A I=乙，一，

用，( )除，设为商‘ p ( )九，式余为 pl L+P 。根据哈密顿一莱定凯理

,

必有

f ( A )=。 0可以故得A=出 f(A )【 p( )+ PI A+Po P=。 A P+o。

(一当r) + 4s= 0时， (九， ): 0有两根重 -=y, f (k )= 一 ( ),

l m i

时，此求一A转化为求 +,出 P求l, P o题问将迎刃而解。

-+

o。,玎+ 1

= ( 9

)

②,当+ 4: 0时≠’,.‘ r 0≠ ., . 1I≠l I,不设妨 I

l

^

2由

于 = (【九一 )+】”=∑ (一九 ) -

用， ( )除九”得所余的式 P.九+P o=时有 A =’【 一 (一 ) 1:】 【 一 (— n )1】,以所此 2( )

( 1 0)

、

—

}∞ J n l+

令X

0, Y=1=, r= 1, S=1 有，:r+ 4 ≠0,满足 l

,式此时广义斐波那契数即列为斐波那契列数

=

,( )二，当+ 4 s≠ 0, _时厂 (九)=有0个不两等的 根 ,此， ‘厂 (时 =(九)一 ) (九一 , )”: ( 一九 ) (一 ) (P (九 ) +九+ ,取，九

= ,分别代入上式解，方组得：程

A= E+Pl 2 A

.

击=。掣分析( 9 )、 (1。 )式，我们 发现∞与 r,

关有，与初始条件 x,的Y选取无关

(。 3)

(将2 ) (、3)分别代入 1 ()整理，后得：

4

广斐波那契义数的进一步列推

分广析义广波斐契那数列通项公式的求解过 程，我们

可以将递关推推系至广m阶¨,此 (时 )1将

式变形为

::

I=; (【 ) s( x+ n— s xl , r 4+s: 0

1

:【击(蹦+ ) ( ) 一( s x+ J,) ()一】,, 2 4 +≠‘ 0 4’

2义广斐波那契 数列之

和数列求和是研数究列性质的要重面。方过推通导的广斐义波那契 列通数公式项，我们可以求广义斐波那契数列其及变 的和。形

A

一。i .

一

。,

此时

阶递式推的求解转化为

阶方阵幂的 求解，而通解的公式均可利以哈用密顿一凯莱定得理出 ,见文参献[ 2】。至此，们将我广斐义那契波数列 广推为 m递推阶形式，并得出一般解求路思。

下

分面几种情进况行论讨： ( 1 )①当 + s 4=0,, 2=时，=/I= ( 1一 x )n+X为等差数列，

..故

参

考文献[

1]振吴奎. 波那契斐数列 赏欣[】 M .哈尔滨：哈尔 k滨大学版出社.

2 1 2.0

’

兰

=; (1一 )+ (+ x 1 )+

= U。

(

5)

【2]王宝文.利用 H mi a tl on定理求m阶阵方A l的 q .次方…幂.黑 龙江

②当 r

+ 4s:0,,≠时，2

(=; )” 【蹦+【 )"~ S】X为等比数列

与

等差数列积的形式，用错位相法解消得：

商学学院报 (自科然学 ),版1 9 29, 8 (1 ) . [3】王萼.芳高等代数【M] . 3版北.京：高等教出版育社 2 0 0, . 3【 4】余长安. P阶 环方循式程的公解[式 J] .数学学，报1 8 96,2 9 ( 3) .

)

+ (

( 2 )r当 4+ s0时≠, 两种情形

)

I ((州

刮 (l 6)

可以看作两 等个比数列相加，下面分

①作简者介：可张 ( 19 9 O一),男，安徽大学学数学科学院。

2 3

0

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