HDU-1567-A/B——算法笔记

2024-04-26 17:43:14

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576

题目描述：

要求(A/B)%9973，但由于A很大，我们只给出n(n=A%9973)(我们给定的A必能被B整除，且gcd(B,9973) = 1)。

输入：

数据的第一行是一个T，表示有T组数据。
每组数据有两个数n(0 <= n < 9973)和B(1 <= B <= 10^9)。

输出：

对应每组数据输出(A/B)%9973。

样例：

题解：

已知 gcd ( B, 9973 ) = 1，n、B 的值都知道，且n = A % 9973，要求出 (A / B) % 9973 的值。由于不知道 A 的值，所以要把 A 值换掉。
设 ans = (A / B) % 9973；
则存在 X 使得： A / B = 9973 * X + ans;
转换一下得到： A = 9973 * X * B + ans * B. // 式 1
又由于： n = A % 9973.
则存在 Y 使得： A = 9973 * Y + n. // 式 2
式 1 和式 2 结合起来，就消去了 A ，再整理一下得到：
n = ans * B + (B * X - Y) * 9973.
两边同时除以 n 得到： 1 = (ans / n) * B + [ (B * X - Y) / n ] * 9973.
令 x = (ans / n) ，y = [ (B * X - Y) / n ]，式子就变为：1 = x * B + y * 9973. 而 gcd( B, 9973) = 1，刚好符合扩展欧几里得算法求解。于是就可以求出 x 即 ans / n 的值，又 n 知道，就可以求出 ans 的值了。最后不要忘记 ans 要是个正数，要处理一下才行。既然最后结果是要对 9973取模，那么可以对ans 这样操作取正：ans = (ans % mod + mod ) %mod.

参考代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;#define INF 0x3f3f3f
#define ll long long
#define clean(arrays) memset(arrays, 0, sizeof(arrays))const int MAX_NUM = 1e5 + 5;
const int mod = 9973;// 求解得到的 x 就是 a 的逆元，y 就是 b 的逆元。
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}ll r = exgcd(b, a % b, x, y);ll t = x;x = y;y = t - a / b * y;return r;
}int main()
{int t;cin >> t;while (t--){ll n;ll b;ll x, y;cin >> n >> b;exgcd(b, mod, x, y);x *= n;ll results = (mod + (x % mod)) % mod;   //对 x 值进行调整，避免是负数cout << results << endl;}
}

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