分段线性函数三种MIP模型

2024-06-17 03:21:54

2003-MS-Croxton-A Comparison of Mixed-Integer Programming Models for nonconvex piecewise linear cost minimization problems

Definition

g(x):={fs+csx,bs−1≤x≤bs,∀s∈{1,2,…,S}g(x):=\bigg\{f^s+c^sx,\quad b^{s-1}\le x\le b^{s},\quad \forall s\in \{1,2,\dots,S\} g(x):={fs+csx,bs−1≤x≤bs,∀s∈{1,2,…,S}

csc^scs the slope
fsf^sfs the cost-intercept
bs−1,bsb^{s-1}, b^sbs−1,bs the breakpoints (upper and lower bounds). b0=0b^0=0b0=0

Three Models for Piecewise Linear Costs

Incremental Model

Define f^s=gs(bs−1)−gs−1(bs−1)=(fs+csbs−1)−(fs−1+cs−1bs−1)\hat{f}^s=g^s(b^{s-1})-g^{s-1}(b^{s-1})=(f^s+c^sb^{s-1})-(f^{s-1}+c^{s-1}b^{s-1})f^s=gs(bs−1)−gs−1(bs−1)=(fs+csbs−1)−(fs−1+cs−1bs−1) as the gap in the cost at the breakpoint between segment s−1s-1s−1 and segment sss.
g(x)=∑s(cszs+f^sys)x=∑szs(bs−bs−1)ys+1≤zs≤(bs−bs−1)ysyS+1=0ys∈{0,1}g(x)=\sum_s(c^sz^s+\hat{f}^sy^s)\\ x=\sum_sz^s\\ (b^s-b^{s-1})y^{s+1}\le z^s\le (b^s-b^{s-1})y^s\\ y^{S+1}=0\\ y^s\in \{0, 1\} g(x)=s∑(cszs+f^sys)x=s∑zs(bs−bs−1)ys+1≤zs≤(bs−bs−1)ysyS+1=0ys∈{0,1}

Multiple Choice Model

At most one ysy^sys will equal one.
g(x)=∑s(cszs+fsys)x=∑szsbs−1ys≤zs≤bsys∑sys≤1ys∈{0,1}g(x)=\sum_s(c^sz^s+f^sy^s)\\ x=\sum_sz^s\\ b^{s-1}y^s\le z^s\le b^sy^s\\ \sum_sy^s\le 1\\ y^s\in \{0,1\} g(x)=s∑(cszs+fsys)x=s∑zsbs−1ys≤zs≤bsyss∑ys≤1ys∈{0,1}

Convex Combination Model

Define multipliers, μs\mu^sμs and λs\lambda^sλs, as the weights on the two endpoints.
g(x)=∑s(μs(csbs−1+fs)+λs(csbs+fs))x=∑s(μsbs−1+λsbs)μs+λs=ys∑sys≤1μs,λs≥0,ys∈{0,1}g(x)=\sum_s\left(\mu^s(c^sb^{s-1}+f^s)+\lambda^s(c^sb^s+f^s)\right)\\ x=\sum_s(\mu^sb^{s-1}+\lambda^sb^s)\\ \mu^s+\lambda^s=y^s\\ \sum_sy^s\le 1\\ \mu^s,\lambda^s\ge 0, y^s\in\{0,1\} g(x)=s∑(μs(csbs−1+fs)+λs(csbs+fs))x=s∑(μsbs−1+λsbs)μs+λs=yss∑ys≤1μs,λs≥0,ys∈{0,1}

分段线性函数三种MIP模型相关推荐

未能找到路径的一部分_车辆路径规划三种MIP模型
车辆路径规划问题的三个MIP模型.从直观的模型推导出高效的模型. 我们用最最标准的Capacitated VRP为例: CVRP问题描述:给定一张完全有向图: , 其中是客户的集合, 分别是起点和终 ...
深入理解C语言-二级指针三种内存模型
二级指针相对于一级指针,显得更难,难在于指针和数组的混合,定义不同类型的二级指针,在使用的时候有着很大的区别第一种内存模型char *arr[] 若有如下定义 char *arr[] = {&quo ...
reactor线程模型_简单了解Java Netty Reactor三种线程模型
1. Reactor三种线程模型 1.1. 单线程模型 Reactor单线程模型,指的是所有的IO操作都在同一个NIO线程上面完成,NIO线程的职责如下: 1)作为NIO服务端,接收客户端的TCP连接 ...
Reactor三种线程模型与Netty线程模型
一.Reactor三种线程模型 1.1.单线程模型单个线程以非阻塞IO或事件IO处理所有IO事件,包括连接.读.写.异常.关闭等等.单线程Reactor模型基于同步事件分离器来分发事件,这个同步事件 ...
浅析常用软件架构中的一定要理解的三种架构模型
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> 常用的软件架构模型可以归类为三种架构模型:3/N层架构."框架+插件"架构.地域分布式架构. 一．三种架构 ...
简单说一linux内核的内存模型(平坦，不连续，稀疏等三种内存模型)
目录 Linux内核支持的三种内存模型 CONFIG_FLATMEM(平坦内存模型) 基本概念(以第一个为例,不在复述) 所以说什么是平坦模型所以说什么是不连续模型所以说什么是稀疏模型总结鸣谢 ...
word2vec三种保存模型方式
大家好,我是爱编程的喵喵.双985硕士毕业,现担任全栈工程师一职,热衷于将数据思维应用到工作与生活中.从事机器学习以及相关的前后端开发工作.曾在阿里云.科大讯飞.CCF等比赛获得多次Top名次.现 ...
三种Cross-lingual模型 (XLM, XLM-R, mBART)详解
本文将详述三种Cross-lingual模型,按照其在Arxiv上发表论文的时间,分别是XLM(2019/1/22).XLM-R(2019/11/5).mBART(2020/1/22),有意思的是这三 ...
python 鱼骨图_数据分析必备的三种思考模型
原标题:数据分析必备的三种思考模型新人学习数据分析有个误区,认为Excel很Low,SQL做久了又是表哥表姐,学习python又陷入无尽的工具包中不能自拔,迷茫到找项目学习,结果是分析又不得要领,说 ...
基于三种机器学习模型的岩爆类型预测及Python实现
写在前面由于代码较多,本文仅展示部分关键代码,需要代码文件和数据可以留言然而,由于当时注释不及时,且时间久远,有些细节笔者也记不清了,代码仅供参考 0 引言岩爆是深部岩土工程施工过程中常见的一种 ...

最新文章

热门文章