伪素数c语言代码,伪素数--绝对伪素数的分析与探求

第22卷第2期

2004年4月

运城学院学报

Journal of Yuneheng University

V01．22 NO．2

Apr．2004

伪素数——绝对伪素数的分析与探求

王琦，解建国

(运城学院计算机科学与技术系．山西运城044000)

摘要：伪素数的提出及研究成果，使素数的研究进入到一个更加丰富的界面，使它成为研究素数的一种方

法。文章在证明了伪素数有无穷多的同时．还给出了由其引出的绝对伪素数的求解方法。

关键词：素数；伪素数；绝对伪素数

中图分类号：0187．1文献标识码：A 文章编号：1008—8008(2004)02--0012—02

由费尔玛(Fermat)小定理引出的伪素数，是素数

研究中的重要成果，是数论研究中很有价值的“副产

品”，由其又引出的绝对伪素数，目前仍在探索之中，下

面给予总结，并试图给出寻求的计算机方法。

一、关于伪素数

1．伪素数的提出

伪素数是假素数，实际上它是合数，但是它必须是

由费尔玛小定理得出的。下面叙述并给予必要的证

明。

费尔玛小定理若p为素数，则口p—a是P倍数。

如果再满足P与a互寒，则口P1一l是P的倍数。

费尔玛小定理的强化结论用同余式来表达就是：

a,’--1三1 rood(p) (1)

(1)式是数论之精华，它可以这样证明：

因为P l口p—a，即：户}a(ap-1—1)，因为P与a互

素，所以有：P I口扩1—1，即是：口卜1三1 mod(p)。

但是，当声与a互紊，且口扩1一l能被p整除时，P

不一定是素数。若这时户不是素数，那么它就叫伪素

数。再考虑到a的取值，就叫a一伪素数。通常所说的伪

素数是2一伪素数。

比较简单的一个伪素数是341，虽然341能够整除

2340—1，但341；11·3l是一个合数。

2．伪素数有无穷多的一种证明方法

素数有无穷多个，而伪素数也有无穷多个，我们

有：

定理如果行是伪素数，则2n—l也是伪素数，所

以伪素数有无穷多个。

定理中的伪素数聍是2一伪素数，如果2一伪素数

有无穷多个，由伪素数的定义，当然伪素数也就有无穷

多个。证明如下：

根据伪素数的定义，2一一l与2互素是显然的，只

需证明两个问题：第一要证明2一一1 221～1 1 1；第二

要证明2n—l可分解因数。

先证明第一个问题。事实上，因n是伪素数，所以挖

I 2—1一l，因此可设2—1—1一勋，这里k为某一个确

定的整数。由于：

221—1—1—1=221—2—1=2Z(2”1一1)一1=

(22一一1)2—1=(22一一1—1)(22一一1+1)一(2h一

1)(2k-+1)=[(2一)‘一1](2蛔+1)。因为：(2一)‘一1=

(2一一1)[(2一)卜1+(2n)。卜2+⋯2一+1]，所以有：2”一

1 221—1—1—1。

其次证2一一1可分解因数。事实上，因，z是伪素数，

所以可设7l；h·l(h和Z均大于2)，这样有：2n—l；

2Ⅳ一1=(2h)f一1=(2h—1)[(2h)卜1+(2h)l--2+

⋯26+1]。

这就证明了2一一l是合数，所以它是伪素数。考虑到迭

代原理，便知伪素数有无穷多个。

实际上，以2为底的伪素数除了341以外，还有

561，645，1105，1387等。

前面提到的伪素数，由于其底数为2，所以它们都

是奇伪素数，实际上还存在着偶伪素数，当然它们的底

数不能是2，并且已证明偶伪素数也有无穷多个，这里

不赘述。

伪素数研究的主要对象是2一伪素数，对于a≠2

的伪素数，研究起来方法相似，但逐一研究很显繁琐，

在此仅举一例说明。例9l能

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