凸包(convex hull)，凸包络面(convex envelope), 凸低估计量(convex underestimator), 图上方(epigraph)，

凸分析中经常见到这些概念，目前这方面的中文资料似乎不太多，决定写篇博客总结一下。

文章目录

1. 凸包 convex hull
2. 图上方 epigraph
3. 凸低估计量 convex underestimator
4. 凸包络面 convex envelope

1. 凸包 convex hull

凸包在文献中比较常见些，也称作凸包络面 convex envelope。凸包一般针对某个集合（函数也可以有凸包，但我看到一些文献将函数的凸包称作凸包络面 convex envelope）。

凸包的定义为：对于某个有限集合 {v1,v2,…,vn}\{v_1, v_2, \dots, v_n\}{v1,v2,…,vn}，它的凸包为

conv{v1,v2,…,vn}={θ1v1+θ2v2+⋯+θnvn∣θi≥0,∑nθi=1,∀i}\textbf{conv}\{v_1, v_2, \dots, v_n\}=\{\theta_1v_1+\theta_2v_2+\dots+\theta_nv_n|\theta_i\geq 0, \sum^n \theta_i=1, \forall i\} conv{v1,v2,…,vn}={θ1v1+θ2v2+⋯+θnvn∣θi≥0,∑nθi=1,∀i}

在学术文献中，符号 conv\textbf{conv}conv 表示凸包。

凸包的几何意义为一个集合内所有元素的凸组合，也等价于包含集合元素的所有凸集的交集。例如，下面的图形中，黑点表示集合的每个元素，图中的蓝线为该集合的凸包

因为是有限个元素的凸组合，凸包总是有界的

2. 图上方 epigraph

图上方 epigraph 是针对函数的，图上方的几何意义就是指一个函数图形上面的元素集合。函数 fff 的图上方的标准定义为：

epif={(x,t)∣t≥f(x),x∈domf}\textbf{epi } f=\{(x,t)|t\geq f(x), x\in \textbf{dom } f\} epi f={(x,t)∣t≥f(x),x∈dom f}

其中，符号 epi\textbf{epi}epi 表示图上方，而 dom\textbf{dom}dom 表示定义域的意思。

上面的图形中，曲线为函数 fff，它上面的阴影部分就是它的图上方。关于函数图上方与函数凸性有一个重要性质：

一个函数为凸函数，当且仅当它的图上方为凸集。

还有一个图下方，英文叫做 hypograph。

3. 凸低估计量 convex underestimator

我没查到权威文献中对凸低估计量的定义，但它的涵义是：在定义域 fff 内每个元素上，都比函数 fff 小的凸函数。即：

g(x)≤f(x)and g(x) is convexg(x)\leq f(x) \text{ and g(x) is convex} g(x)≤f(x) and g(x) is convex
因此，凸低估计量可以有很多个，例如：

上面的图形中，阴影部分为图上方，而图形中的粗实线函数，与下面的虚线函数，都是函数 f(x)f(x)f(x) 的低估计量

4. 凸包络面 convex envelope

凸包络面与凸包非常像，但我觉得一般分析函数时称为凸包络面，分析集合时称凸包。

一个函数的凸包络面为它的低估计量中最大的，或者为它的图上方的凸包。标准的定义为
g(x)=inf⁡{t∣(x,t)∈convepif}g(x)=\inf\{t|(x,t)\in\textbf{conv }\textbf{epi } f\} g(x)=inf{t∣(x,t)∈conv epi f}
在上一个图形中，那条粗实线函数就是 f(x)f(x)f(x) 的凸包络面(线）¹²。

Convex optimization. Boyd, Stephen, and Lieven Vandenberghe. Cambridge university press, 2004. ↩︎
Keller, André A. “Convex underestimating relaxation techniques for nonconvex polynomial programming problems: computational overview.” Journal of the Mechanical Behavior of Materials 24.3-4 (2015): 129-143. ↩︎