2022CCPC预选赛C Guess(博弈)

两个人头顶有一个数，互相猜对面是什么数。谁先猜出来谁赢，头顶的数一定是正整数，且一个人的数另一个人的两倍。

首先，如果某个人是奇数，那么另一个人一定可以推出自己的数字，就是那个人的两倍。
即
(12):11(21):10(1\quad2) : 1\quad1 \\ (2\quad1) : 1\quad0 (12):11(21):10
接下来，如果两人头顶的数字是(42)(4\quad2)(42)。①那么A会先说“不知道”，因为他不能确定自己头顶是111还是444。②既然A说“不知道”，那B就可以推知自己上不是奇数。看到A是444，还是不能确定自己是222还是888。③轮到A，A接受到B的“不知道”信息后，便可以知道B看到自己头上不是一个奇数(如果A头上是奇数，那B是可以知道自己是多少的)，那在111和444中除去了111，A就可以知道自己是444了。综上，A在第二轮获胜。

再有如果，A头顶是2，B头顶是4。①A是无法确定的，自己可能为2或8。②轮到B，B本来的可能有1或4。A说“不知道”，那B头上一定不是奇数，现在就是有4是可能的了。综上B在第一轮获胜。
(42):20(24):11(4\quad2) : 2\quad0 \\ (2\quad4) : 1\quad1 (42):20(24):11

继续理清这个问题，如果是(84)(8\quad4)(84)。①首先A只能知道自己是222或888。②B可以是444或者161616，它也不知道。③A从B的“不知道”中可以推出，自己头顶上不可能是2。因为如果它头顶上是222(B知道自己要么1要么4)，而第一轮时A说“不知道”(说明B不是一个奇数)，B就足够猜出自己是444了(在111和444中排除了111)。既然B没有猜出来，那A它就不是222，而是888。综上，A在第二轮获胜。

仔细思考刚刚这个问题会发现，出现了嵌套的问题了。A看到B头顶是4，它便可以知道自己是222记为(24)(2\quad4)(24)或者8记为(84)(8\quad4)(84)。然后B说不知道。第二轮时，由于如果是情况(24)(2\quad4)(24)，那B在第一轮就应该知道自己是多少了，然而他并不知道，所以只能是情况(84)(8\quad4)(84)。

类似地，如果是情况(816)(8\quad16)(816)，A在第二轮的时候并不能得出什么有用结论。而B在此时正在纠结是(84)(8\quad4)(84)还是(816)(8\quad16)(816)，由于A此时不知道，所以排除掉(84)(8\quad4)(84)，他就可以知道是(816)(8\quad16)(816)。

所以得出了一条链的答案
(21):10(24):11(84):20(816):21(3216):30(3264):31⋯:⋯(2\quad1) : 1\quad0 \\ (2\quad4) : 1\quad1 \\ (8\quad4) : 2\quad0 \\ (8\quad16) : 2\quad1 \\ (32\quad16) : 3\quad0 \\ (32\quad64) : 3\quad1 \\ \cdots\qquad:\ \ \cdots (21):10(24):11(84):20(816):21(3216):30(3264):31⋯: ⋯

这样其实就已经可以开始模拟了。

另外一条链也是类似的。

然后可以模拟这个过程O(log⁡a)\mathcal{O}(\log a)O(loga)，也可以推一下式子再做。

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