PBRT学习笔记：在单位圆内部均匀采样

在一个单位圆内部均匀采样，即在单位圆内部随机取一个采样点，而每个采样点被取到的概率都是1/Pi。这个问题看似非常简单，但是可能要比想象中复杂一点。这里的采样我们从canonical uniform variable开始，即我们只能够生成从0到1的随机数，而其分布是均匀分布的。
首先，最容易想到的方法就是rejection method。在单位圆的外部做一个Bounding Box，紧紧的包住这个单位圆。然后用两个随机点分别在两个轴向上取点，从而均匀的随机提取正方形内部的一个点。然后进行简单的测试，当这个点与圆的中心距离大于1的时候，我们按照刚才做法重新生成一个随机点，直到其在圆的内部为止。那么这个点就是我们想要的点了，而且是完全均匀分布的。
这种方法是rejection sampling method的一种，最大的优点在于简单，易于实现。但是在效率方面，这种方法会有很大弊端。我们在选取到最终结果之前，很可能需要生成很多随机点，当随机数生成算法代价足够大的时候，这种方法的效率是不高的。从面积的比率来看，随机点被接受和拒绝的比例为Pi/(4-Pi)。
那么，有没有更合适的方法呢？
还有一种叫做inverse sampling method的方法可以被应用，这种方法的要求可能多一些，需要函数是可积的，并且CDF是可逆的。好在这个例子里面，我们可以把问题变简单一些。
除了上述想法，最直观的想法就是用极坐标系来生成随机点。我们假设有两个从0到1的随机数，a，b。那么，我们另：
      r = a
      theta = b * 2 * Pi
上述随机点显然可以布满整个圆，但是并不是均匀分布的。简单证明如下，如果上述算法可以均匀生成随机点，那么我们假设r0为0到1之间的一个固定数值。由于r=a，而theta不影响点到圆心的距离，所以点在以r0为半径的圆内部的概率为P(a < r0) = r0。而从面积角度讲，点在以r0为半径的圆内部的概率应该是该面积与单位圆的面积比例，即r0*r0。由于r0在0和1之间，显然r0!=r0*r0。所以我们的假设是不成立的，即上述算法不是均匀分布的。
实际上，通过inverse sampling method，我们可以计算出正确的生成算法，即
      r = sqrt( a )
      theta = b * 2 * Pi
上述算法就是满足要求的了，即可以在圆的内部均匀分布了。而且不想rejection method，这回我们只需要生成两个随机数而已，效率有了一定的提升。
表面上来看，该方法似乎很完美，但是这种变换的局部性保持的很差，所以很多应用中效果都不好。例如下图：
左边是原始随机数(a,b)生成的坐标系（我们假设有这样的坐标系），右边是经过了上述变换后的均匀采样，我们发现图片中的F已经完全走样了，基本上看不出来了。而且更糟糕的是，这种连续不是双向的。即在(a,b)的坐标系中，如果两点连续，那么投影到圆后的两个点同样是连续的。而反过来就不一定成立了。
所以，是否有更好的方法呢？
Peter Shirley很早就有一篇文章A Low Distortion Map Between Disk and Square，介绍了一种更好的根据均匀分布的随机采样，可以用来采样圆。
这个方法也不难理解，它把一个正方形通过一些简单的数学变换压缩成了一个圆的形状。变换如下：
     r = a
     theta = Pi * b / ( 4 * a )
可以想象，通过上诉变换，我们可以把正方形压缩成圆的形状
这种变换的好处在于，它可以保持局部性以及双向的邻接性质。我们再看看上面的F在这种变换下，变成了什么形状：
虽然有了一定的扭曲，但是我们还可以清晰的看到里面的F形状，而且要比第二种变换清晰很多。
这种变换被作者称之为Concentric Map。那么最后的问题出现了，这种变换后，采样还是均匀分布么？
对于这个问题而言，我们只需要找到p(a,b)与p(r,theta)之间的关系就好了，而这两者的关系是不难计算的：
    p(a,b) = 0.25
    p(u,v) = p(a,b) / |J_T|
其中
    u = a * cos( Pi * b / ( 4 * a ) )
    v = a * sin( Pi * b / ( 4 * a ) )
J_T为Jacobian行列式，通过计算我们得到
    所以p(u,v) = 0.25 / ( Pi / 4 ) = 1 / Pi，即在圆内部每一点被采样到的概率都为1/Pi，所以上述变换为均匀分布。

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