大地坐标系(Geocentric Geodetic Coordinate System)与笛卡尔积坐标系(Geocentric Space Rectangular Coordinate System)关系推导

大地坐标系到空间直角坐标系的转换推导

参考自方庆林

假定空间直角坐标系的原点位于地球参考椭球的中心，Z轴与地球自转轴平行并指向参考椭球的北极，X轴指向参考椭球的本初子午线，Y轴与X轴和Z轴相互垂直最终构成一个右手系。大地坐标系是以大地基准为基础建立起来的，大地基准又以参考椭球为基础，由此大地坐标系又被称为椭球坐标系。如下图所示：

根据图示，点M所在的经纬面截椭球体所得的椭圆为：根据图示，点M所在的经纬面截椭球体所得的椭圆为：根据图示，点M所在的经纬面截椭球体所得的椭圆为：
u2a2+z2b2=1(1)\tag{1} {\frac {u^2}{a^2} + \frac {z^2}{b^2} = 1}a2u2+b2z2=1(1)
其中a为椭球体长轴,b为椭球体短轴,椭球面焦点为(−c,0)和(c,0),椭球面第一偏心率e=a2−b2a。a,b,c满足椭圆焦点计算公式：其中a为椭球体长轴,b为椭球体短轴,椭球面焦点为(-c,0)和(c,0),椭球面第一偏心率e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}。a,b,c满足椭圆焦点计算公式：其中a为椭球体长轴,b为椭球体短轴,椭球面焦点为(−c,0)和(c,0),椭球面第一偏心率e=aa2−b2。a,b,c满足椭圆焦点计算公式：
a2−b2=c2(2)\tag{2} {a^2-b^2=c^2}a2−b2=c2(2)
且点M0的椭球经纬度坐标为(L,B),且点M_0的椭球经纬度坐标为(L,B),且点M0的椭球经纬度坐标为(L,B),
设M0M⃗与地球椭球面位于点M0处的重力铅垂线方向平行，点M位于铅垂线上，且距M0的高度为H，即点M0的法向量n⃗∥FM0⃗,点M0=(u0,z0),F=(uF,0),M=(uM,zM),设\vec{M_0M}与地球椭球面位于点M_0处的重力铅垂线方向平行，点M位于铅垂线上，且距M_0的高度为H，即点M_0的法向量\vec n \parallel \vec{FM_0},点M_0=(u_0,z_0),F=(u_F,0),M=(u_M,z_M),设M0M与地球椭球面位于点M0处的重力铅垂线方向平行，点M位于铅垂线上，且距M0的高度为H，即点M0的法向量n∥FM0,点M0=(u0,z0),F=(uF,0),M=(uM,zM),
则过点M0的切线方程为：则过点M_0的切线方程为：则过点M0的切线方程为：
u0ua2+z0zb2=1(3)\tag{3} {\frac{u_0u}{a^2} + \frac{z_0z}{b^2}=1}a2u0u+b2z0z=1(3)
则存在n⃗=(u0a2,z0b2),(根据空间直线一般式方程AX+BY+CZ+D=0推得)则存在\vec n = (\frac{u_0}{a^2}, \frac{z_0}{b^2}),(\fcolorbox{red}{aqua}{根据空间直线一般式方程AX+BY+CZ+D=0推得}) 则存在n=(a2u0,b2z0),(根据空间直线一般式方程AX+BY+CZ+D=0推得)
又∵n⃗∥FM0⃗,又 \because{\vec n \parallel \vec{FM_0}},又∵n∥FM0,
∴u0−uFu0a2=z0−0z0b2\therefore \frac{u_0-u_F}{\frac{u_0}{a^2}} = \frac{z_0-0}{\frac{z_0}{b^2}}∴a2u0u0−uF=b2z0z0−0
⇒u0(u0−uF)a2=b2\Rightarrow \frac{u_0(u_0-u_F)}{a^2} = b^2⇒a2u0(u0−uF)=b2
⇒u0−uF=b2a2u0\Rightarrow u_0-u_F=\frac{b^2}{a^2}u_0⇒u0−uF=a2b2u0
⇒uF=u0(1−b2a2)(4)\Rightarrow \tag{4} u_F=u_0(1-\frac{b^2}{a^2})⇒uF=u0(1−a2b2)(4)
根据椭圆焦点计算公式(2)可得\fcolorbox{red}{aqua}{ 根据椭圆焦点计算公式(2)可得} 根据椭圆焦点计算公式(2)可得
⇒uF=u0c2a2(5)\Rightarrow \tag{5} {u_F=u_0 \frac{c^2}{a^2} } ⇒uF=u0a2c2(5)
根据图示存在：根据图示存在：根据图示存在：
tan⁡B=z0−zFu0−uF=z0u0−c2a2u0(6)\tag{6} {\tan B = \frac{z_0-z_F}{u_0-u_F}=\frac{z_0}{u_0-\frac{c^2}{a^2}u_0 }}tanB=u0−uFz0−zF=u0−a2c2u0z0(6)
联合(1)和(6)有:联合(1)和(6)有:联合(1)和(6)有:
{tan⁡B=z0u0−c2a2u0u02a2+z02b2=1(7)\tag{7} \begin{cases} \tan B = \frac{z_0}{u_0-\frac{c^2}{a^2}u_0 } \\ \frac {u_0^2}{a^2} + \frac {z_0^2}{b^2} = 1 \end{cases} ⎩⎨⎧tanB=u0−a2c2u0z0a2u02+b2z02=1(7)
∵tan⁡B=z0u0−c2a2u0\because \tan B = \frac{z_0}{u_0-\frac{c^2}{a^2}u_0 }∵tanB=u0−a2c2u0z0
根据椭圆焦点计算公式(2)可得\fcolorbox{red}{aqua}{ 根据椭圆焦点计算公式(2)可得} 根据椭圆焦点计算公式(2)可得
∴tan⁡B=z0b2a2u0\therefore \tan B = \frac{z_0}{\frac{b^2}{a^2}u_0 }∴tanB=a2b2u0z0
⇒z0=b2a2u0tan⁡B(8)\Rightarrow \tag{8} z_0= \frac{b^2}{a^2} u_0 \tan B⇒z0=a2b2u0tanB(8)
(8)式代入(7)方程组第二个方程得:(8)式代入(7)方程组第二个方程得:(8)式代入(7)方程组第二个方程得:
u02a2+(b2a2)2u02tan⁡2Bb2=1\frac {u_0^2}{a^2} + \frac { (\frac{b^2}{a^2})^2 {u_0}^2 \tan ^ 2 B } {b^2} = 1a2u02+b2(a2b2)2u02tan2B=1
⇒u02(1a2+b2a4tan⁡2B)=1\Rightarrow u_0^2 ( \frac{1}{a^2} + \frac{b^2}{a^4} \tan^2B) = 1 ⇒u02(a21+a4b2tan2B)=1
⇒u02a2+b2tan⁡2Ba4=1\Rightarrow u_0^2 \frac{a^2+b^2\tan^2B}{a^4} = 1⇒u02a4a2+b2tan2B=1
⇒u02=a4a2+b2tan⁡2B\Rightarrow u_0^2 = \frac{a^4}{a^2+b^2\tan^2B}⇒u02=a2+b2tan2Ba4
⇒u0=a2a2+b2tan⁡2B(9)\Rightarrow \tag{9} u_0=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2\tan^2B}}⇒u0=a2+b2tan2Ba2(9)

(9)式代入(4)式得(9)式代入(4)式得(9)式代入(4)式得
uF=u0(1−b2a2)=a2a2+b2tan⁡2Ba2−b2a2=a2−b2a2+b2tan⁡2B(10)\tag{10} u_F=u_0(1-\frac{b^2}{a^2})=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2\tan^2B}} \frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{a^2+b^2\tan^2B}}uF=u0(1−a2b2)=a2+b2tan2Ba2a2a2−b2=a2+b2tan2Ba2−b2(10)
由向量FM0⃗得由向量\vec{FM_0}得由向量FM0得
∥FM0⃗∥=(u0−uF)2+(z0−0)2(11)\tag{11} \parallel \vec{FM_0} \parallel = \sqrt{(u_0-u_F)^2 + (z_0-0)^2}∥FM0∥=(u0−uF)2+(z0−0)2(11)
由(9)式和(10)式得由(9)式和(10)式得由(9)式和(10)式得
u0−uF=a2a2+b2tan⁡2B−a2−b2a2+b2tan⁡2B=b2a2+b2tan⁡2B(12)\tag{12} u_0-u_F = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2\tan^2B}} - \frac{a^2-b^2}{\sqrt{a^2+b^2\tan^2B}} = \frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2\tan^2B}}u0−uF=a2+b2tan2Ba2−a2+b2tan2Ba2−b2=a2+b2tan2Bb2(12)
(9)式代入(8)式得(9)式代入(8)式得(9)式代入(8)式得
z0=b2a2u0tan⁡B=b2a2a2a2+b2tan⁡2Btan⁡B=b2tan⁡Ba2+b2tan⁡2B(13)\tag{13} z_0= \frac{b^2}{a^2} u_0 \tan B = \frac{b^2}{a^2} \frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2\tan^2B}} \tan B = \frac{b^2 \tan B}{\sqrt{a^2+b^2\tan^2B}}z0=a2b2u0tanB=a2b2a2+b2tan2Ba2tanB=a2+b2tan2Bb2tanB(13)
(12)式和(13)式代入(11)式得(12)式和(13)式代入(11)式得(12)式和(13)式代入(11)式得
∥FM0⃗∥=(b2)2a2+b2tan⁡2B+(b2)2tan⁡2Ba2+b2tan⁡2B\parallel \vec{FM_0} \parallel = \sqrt{ \frac{(b^2)^2}{a^2+b^2\tan^2B} + \frac{(b^2)^2\tan^2B}{a^2+b^2\tan^2B} } ∥FM0∥=a2+b2tan2B(b2)2+a2+b2tan2B(b2)2tan2B
⇒∥FM0⃗∥=b21+tan⁡2Ba2+b2tan⁡2B(14)\Rightarrow \tag{14} \parallel \vec{FM_0} \parallel = b^2 \sqrt{\frac{1+\tan^2B}{a^2+b^2\tan^2B}}⇒∥FM0∥=b2a2+b2tan2B1+tan2B(14)
根据三角公式根据三角公式根据三角公式
1+tan⁡2B=sin⁡2B+cos⁡2Bcos⁡2B=1cos⁡2B1+\tan^2B = \frac{\sin^2B+\cos^2B}{\cos^2B}=\frac{1}{\cos^2B}1+tan2B=cos2Bsin2B+cos2B=cos2B1
代入(14)式得代入(14)式得代入(14)式得
∥FM0⃗∥=b21cos⁡2Ba2cos⁡2B+b2sin⁡2Bcos⁡2B=b21a2cos⁡2B+b2sin⁡2B\parallel \vec{FM_0} \parallel =b^2 \sqrt{ \frac{ \frac{1}{\cos^2B} }{ \frac{a^2\cos^2B+b^2\sin^2B}{\cos^2B} } } = b^2\sqrt{ \frac{1}{a^2\cos^2B+b^2\sin^2B} }∥FM0∥=b2cos2Ba2cos2B+b2sin2Bcos2B1=b2a2cos2B+b2sin2B1
⇒∥FM0⃗∥=b2a1cos⁡2B+b2a2sin⁡2B(15)\Rightarrow \tag{15} \parallel \vec{FM_0} \parallel = \frac{b^2}{a}\sqrt{ \frac{1}{\cos^2B+ \frac{b^2}{a^2}\sin^2B} }⇒∥FM0∥=ab2cos2B+a2b2sin2B1(15)
根据三角公式根据三角公式根据三角公式
cos⁡2B=1−sin⁡2B\cos^2B = 1- \sin^2Bcos2B=1−sin2B
代入(15)式得代入(15)式得代入(15)式得
∥FM0⃗∥=b2a11−sin⁡2B+b2a2sin⁡2B\parallel \vec{FM_0} \parallel = \frac{b^2}{a}\sqrt{ \frac{1}{1- \sin^2B+ \frac{b^2}{a^2}\sin^2B} }∥FM0∥=ab21−sin2B+a2b2sin2B1
⇒∥FM0⃗∥=b2a11−a2−b2a2sin⁡2B\Rightarrow \parallel \vec{FM_0} \parallel = \frac{b^2}{a}\sqrt{ \frac{1}{1- \frac{a^2-b^2}{a^2}\sin^2B} }⇒∥FM0∥=ab21−a2a2−b2sin2B1
⇒∥FM0⃗∥=b2a11−c2a2sin⁡2B\Rightarrow \parallel \vec{FM_0} \parallel = \frac{b^2}{a}\sqrt{ \frac{1}{1- \frac{c^2}{a^2}\sin^2B} }⇒∥FM0∥=ab21−a2c2sin2B1
⇒∥FM0⃗∥=b2a11−e2sin⁡2B,(根据椭球第一偏心率计算关系推得)\Rightarrow \parallel \vec{FM_0} \parallel = \frac{b^2}{a}\sqrt{ \frac{1}{1- e^2\sin^2B} },(\fcolorbox{red}{aqua}{根据椭球第一偏心率计算关系推得}) ⇒∥FM0∥=ab21−e2sin2B1,(根据椭球第一偏心率计算关系推得)
⇒∥FM0⃗∥=b2a2a1−e2sin⁡2B(16)\Rightarrow \tag{16} \parallel \vec{FM_0} \parallel = \frac{b^2}{a^2} \frac{a}{\sqrt{1- e^2\sin^2B}}⇒∥FM0∥=a2b21−e2sin2Ba(16)
令令令
N=a1−e2sin⁡2B(17)\tag{17} N = \frac{a}{\sqrt{1- e^2\sin^2B}}N=1−e2sin2Ba(17)
(17)式代入(16)式得(17)式代入(16)式得(17)式代入(16)式得
∥FM0⃗∥=b2a2N(18)\tag{18} \parallel \vec{FM_0} \parallel = \frac{b^2}{a^2} N∥FM0∥=a2b2N(18)

由(10)式得由(10)式得由(10)式得
uF=a2−b2a2+b2tan⁡2B=c2a2+b2tan⁡2Bu_F=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{a^2+b^2\tan^2B}}=\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2\tan^2B}}uF=a2+b2tan2Ba2−b2=a2+b2tan2Bc2
⇒uF=c2a2(1+b2a2tan⁡2B)=c2a11+b2a2tan⁡2B\Rightarrow u_F=\frac{c^2}{\sqrt{a^2(1+\frac{b^2}{a^2}\tan^2B)}}= \frac{c^2}{a} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}\tan^2B}}⇒uF=a2(1+a2b2tan2B)c2=ac21+a2b2tan2B1
⇒uF=c2a1cos⁡2Bcos⁡2B+b2a2sin⁡2Bcos⁡2B\Rightarrow u_F=\frac{c^2}{a} \frac{1}{\sqrt{\frac{\cos^2B}{\cos^2B}+\frac{b^2}{a^2} \frac{\sin^2B}{\cos^2B}}}⇒uF=ac2cos2Bcos2B+a2b2cos2Bsin2B1
⇒uF=c2acos⁡Bcos⁡2B+b2a2sin⁡2B=c2acos⁡B1−sin⁡2B+b2a2sin⁡2B\Rightarrow u_F=\frac{c^2}{a} \frac{\cos B}{\sqrt{\cos^2B+\frac{b^2}{a^2} \sin^2B}}=\frac{c^2}{a} \frac{\cos B}{\sqrt{1-\sin^2B+\frac{b^2}{a^2} \sin^2B}}⇒uF=ac2cos2B+a2b2sin2BcosB=ac21−sin2B+a2b2sin2BcosB
⇒uF=c2acos⁡B1−c2a2sin⁡2B\Rightarrow u_F=\frac{c^2}{a} \frac{\cos B}{\sqrt{1-\frac{c^2}{a^2} \sin^2B}}⇒uF=ac21−a2c2sin2BcosB
⇒uF=c2a2acos⁡B1−e2sin⁡2B(19)\Rightarrow \tag{19} u_F=\frac{c^2}{a^2} \frac{a\cos B}{\sqrt{1-e^2 \sin^2B}}⇒uF=a2c21−e2sin2BacosB(19)
(17)式代入(19)式得(17)式代入(19)式得(17)式代入(19)式得
uF=c2a2Ncos⁡B(20)\tag{20} u_F =\frac{c^2}{a^2} N \cos B uF=a2c2NcosB(20)

根据图示，存在关系:根据图示，存在关系:根据图示，存在关系:
uM=uF+(∥FM0⃗∥+H)cos⁡B(21)\tag{21} u_M=u_F+(\parallel \vec{FM_0} \parallel + H)\cos BuM=uF+(∥FM0∥+H)cosB(21)
(18)式和(20)式代入(21)式得(18)式和(20)式代入(21)式得(18)式和(20)式代入(21)式得
uM=c2a2Ncos⁡B+(b2a2N+H)cos⁡B=(N+H)cos⁡B(22)\tag{22} u_M=\frac{c^2}{a^2} N \cos B + (\frac{b^2}{a^2} N + H)\cos B = (N+H)\cos BuM=a2c2NcosB+(a2b2N+H)cosB=(N+H)cosB(22)
根据图示，存在关系:根据图示，存在关系:根据图示，存在关系:
zM=(∥FM0⃗∥+H)sin⁡B(23)\tag{23} z_M=(\parallel \vec{FM_0} \parallel + H)\sin BzM=(∥FM0∥+H)sinB(23)
(18)式代入(23)式得(18)式代入(23)式得(18)式代入(23)式得
zM=(b2a2N+H)sin⁡B(24)\tag{24} z_M=(\frac{b^2}{a^2} N + H)\sin BzM=(a2b2N+H)sinB(24)
根据图示，存在关系:根据图示，存在关系:根据图示，存在关系:
{X=uMcos⁡L=(N+H)cos⁡Bcos⁡LY=uMsin⁡L=(N+H)cos⁡Bsin⁡LZ=zM=(b2a2N+H)sin⁡B\begin{cases} X = u_M\cos L= (N+H)\cos B \cos L \\ Y = u_M\sin L = (N+H)\cos B \sin L \\ Z = z_M=(\frac{b^2}{a^2} N + H)\sin B \end{cases} ⎩⎨⎧X=uMcosL=(N+H)cosBcosLY=uMsinL=(N+H)cosBsinLZ=zM=(a2b2N+H)sinB

则椭球坐标系到空间直角坐标系的转换公式如下:则椭球坐标系到空间直角坐标系的转换公式如下:则椭球坐标系到空间直角坐标系的转换公式如下:
{X=(N+H)cos⁡Bcos⁡LY=(N+H)cos⁡Bsin⁡LZ=(b2a2N+H)sin⁡B\begin{cases} X = (N+H)\cos B \cos L \\ Y = (N+H)\cos B \sin L \\ Z =(\frac{b^2}{a^2} N + H)\sin B \end{cases} ⎩⎨⎧X=(N+H)cosBcosLY=(N+H)cosBsinLZ=(a2b2N+H)sinB
其中，其中，其中，
N=a1−e2sin⁡2B,e=a2−b2aN = \frac{a}{\sqrt{1- e^2\sin^2B}},e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}N=1−e2sin2Ba,e=aa2−b2
e为椭球面第一偏心率，a为椭球体长半轴，b为椭球体短半轴，c为椭球面的正焦点长度。e为椭球面第一偏心率，a为椭球体长半轴，b为椭球体短半轴，c为椭球面的正焦点长度。e为椭球面第一偏心率，a为椭球体长半轴，b为椭球体短半轴，c为椭球面的正焦点长度。

又∵b2a2=a2−c2a2=1−c2a2=1−e2又\because \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2-c^2}{a^2} = 1-\frac{c^2}{a^2} = 1-e^2又∵a2b2=a2a2−c2=1−a2c2=1−e2
∴转换公式有如下形式：\therefore 转换公式有如下形式：∴转换公式有如下形式：
{X=(N+H)cos⁡Bcos⁡LY=(N+H)cos⁡Bsin⁡LZ=((1−e2)N+H)sin⁡B\begin{cases} X = (N+H)\cos B \cos L \\ Y = (N+H)\cos B \sin L \\ Z =((1-e^2)N + H)\sin B \end{cases} ⎩⎨⎧X=(N+H)cosBcosLY=(N+H)cosBsinLZ=((1−e2)N+H)sinB

补充一个扁率f与第一偏心率e的关系：补充一个扁率f与第一偏心率e的关系：补充一个扁率f与第一偏心率e的关系：
f=a−ba,e=a2−b2a,c2=a2−b2,f=\frac{a-b}{a},e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a},c^2=a^2-b^2,f=aa−b,e=aa2−b2,c2=a2−b2,
⇒e2=a2−b2a2\Rightarrow e^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}⇒e2=a2a2−b2
⇒2f−f2=2a−2ba−a2−2ab+b2a2\Rightarrow 2f-f^2=\frac{2a-2b}{a}-\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2}⇒2f−f2=a2a−2b−a2a2−2ab+b2
⇒2f−f2=2a2−2ab−a2+2ab−b2a2=a2−b2a2=e2\Rightarrow 2f-f^2=\frac{2a^2-2ab-a^2+2ab-b^2}{a^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}=e^2⇒2f−f2=a22a2−2ab−a2+2ab−b2=a2a2−b2=e2

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