摘要

时频表示 (TFR) 在解释和分析非平稳多模信号方面发挥着重要作用。然而，目前，处理具有紧密间隔或频谱重叠瞬时频率 (IF) 的多模信号仍然具有挑战性，尤其是在低信噪比 (SNR) 条件下。为了解决这个问题，我们提出了一种增强的 TFR 和模式分解 (ETFR-MD) 方法，该方法特别适用于表示和分解具有这种复杂 IF 的多模式信号。所提出的 ETFR-MD 方法利用了所研究信号的 IF 和瞬时幅度 (IA)。首先，我们设计了一种初始 IF 估计方法来处理重叠的 IF。然后，提出了一种低复杂度模式增强方案，以便增强的 IF 可以更好地适应底层的 IF 定律。之后，考虑了三种替代方案，即短时傅里叶变换 (STFT) 系数、去啁啾和固有啁啾分量分解 (ICCD)，用于 IA 恢复。最后，将提取的 IA 与增强的 IF 相结合，分别重构每个信号模式。为了获得更多见解，我们定量分析了模式分解过程中的干扰，并得出了模式分离的最佳窗口长度。在模拟和真实世界数据上实施的实验结果证实了 ETFR-MD 与最先进的解决方案相比具有卓越的性能。

关键词

时频表示、模式分解、多模式信号、紧密间隔的瞬时频率、重叠的瞬时频率

1. 介绍

非平稳多模信号的时频表示（TFR）受到了相当多的研究关注。这种信号的分离，通常称为模式分解，也已经研究了几十年。在实际应用中，希望将感兴趣的信号分解为其组成模式，每个模式都与一个固有分量有关。因此，许多信号处理挑战最终导致信号表示和分解，这正在从方法论到应用进行研究。本文的重点是表示和分解具有紧密间隔或频谱重叠瞬时频率 (IF) 的多模调频 (FM) 信号，鉴于当前该主题的研究进展，这仍然是一个具有挑战性的问题。
丰富的时频 (TF) 分析文献 [1]-[4] 主要关注三种类型的 TFR，即线性、二次和多项式 [5]-[7]。现有的大多数方法都是低阶 TFR，包括线性短时傅里叶变换 (STFT)、线性分数傅里叶变换 (FRFT) [8]、[9]、二次 Wigner-Ville 分布 (WVD) 和经典 Cohen 类 TFR [10]。通常，线性 TFR 会受到低 TF 分辨率和信号失真的影响，尤其是在强噪声情况下。二次 TFR，例如 WVD，具有高 TF 分辨率，但由于显着的交叉项 (CT) [5]，它们难以解释 TF 平面中的信号。因此，大量研究致力于在保持高 TF 浓度的同时减少 CT。特别是，已经研究了被视为 WVD 或 STFT 的平滑版本的基于自适应核函数的 TFR [11]，根据它们是否依赖于信号，它们可以大致分为两类。与信号无关的内核 TFR 本质上是低通滤波器，因为 CT 具有振荡特性，例如 Choi-Williams 分布 (CWD) [12] 和 B 分布 (BD) [13]。此外，沿时间轴和频率轴分别平滑的可分离内核旨在进一步提高 TF 分辨率，例如 S 方法 (SM) [14]、扩展修正 B 分布 (EMBD) [15] 和紧凑内核分布 (慢性肾脏病）[16]。然而，上述与信号无关的内核 TFR 具有固定或手动选择的参数，这可能会忽略有关信号内在特征的一些关键信息，例如分析信号的方向。因此，信号相关核 TFR 是根据某些标准设计的，以获得更好的 TF 表示，例如，径向高斯核 (RGK) [17]、自适应最优核 (AOK) [18]、自适应定向时频分布 ( ADTFD) [19]–[21]、多向分布 (MDD) [22]、自适应分数谱图 (AFS) [23] 和局部优化的短时间分数傅里叶变换 [24]。尽管 TF 分辨率很高，但非线性 TFR 通常具有较高的计算复杂性和不可逆性，这阻碍了有效的模式重建。先前的研究已经注意到模式重建的重要性，由于它们的低计算成本和可逆性而求助于线性 TFR [25]。
在本文中，我们提出了一种增强的 TFR 和模式分解 (ETFR-MD) 方法。所提出的 ETFR-MD 的一个主要关注点是分别重建每个模式的 IF 和瞬时幅度 (IA)。为了实现这一点，我们首先设计了一种基于线性 STFT 而不是基于同步压缩变换 (SST) 的 TFR [26]-[28] 的初始多模 IF 估计方法。为了补偿波动或不平滑的 IF 估计，然后开发了一种迭代滤波方法来提高 IF 估计精度 [29]。另一方面，每个模式的 IA 是从具有高斯窗口的 STFT 系数中提取的，或者通过去啁啾操作 [30]、[31] 和固有啁啾分量分解 (ICCD) [32] 来提取。增强的 IF 和提取的 IA 的组合完成了所有信号模式的表示和分解任务。最后，通过对合成信号和真实世界信号的实验研究，对所提出的 ETFR-MD 方法进行了验证和论证。本文的结构如下。第二节介绍了线性 TFR 和 IF 估计的相关工作，第三节介绍了信号模型和一般问题。然后是对提议的 ETFR-MD 的描述，第 IV 节提供了如何恢复每种模式的 IF 和 IA 的详细信息。为了提供更多见解，我们在第五节中推导出最佳窗口长度的表达式并进行干扰分析。第六节介绍了模拟和实际数据的实验结果，重点是由接近或重叠的中频组成的多模信号。结论在第七节中作出。

2. 相关工作

我们首先回顾了有关时频表示和模式分解中涉及的线性 TFR 和 IF 估计方法的现有相关工作。在过去的几十年中，对线性 TFR 的理论进行了相当深入的研究。小波变换 (WT) [33] 被认为是经典的线性 TFR，与线性 STFT 相比，它采用自适应窗口大小来提高 TF 分辨率。随后通过实施后处理改进了信号表示。重新分配（RS）方法 [34]、[35] 将某些域中的平均能量分配给能量分布的重心以获得 IF 轨迹。在 [36] 中，Bruni 等人。提出了一种针对具有不可分离模式的多分量信号的TFRS方法，并且对不可分离区域中的缺失信息进行了正确的重新分配。然而，与 RS 相关方法相关的一个主要问题是模式重建的不可行性。此外，在 WT [38] 或 STFT [39] 上导出的同步压缩变换 (SST) [37] 仅在频率方向而不是在时间和频率方向上将 TF 系数压缩到 IF 轨迹中，从而实现模式重建。近年来，模式表示和重构的优势导致人们对基于 SST 的方法的开发越来越感兴趣 [40]-[43]。受 SST 的启发，Yu 等人。提出了同步提取变换（SET）[44]，它采用了一种新开发的同步提取技术来产生更集中的能量 TFR，同时它的可逆性允许模式重建。考虑到两步 SST 的模式分离精度在很大程度上取决于第一步 IF 估计的精度，Chui 等人。 [45] 提出了一种基于自适应连续小波变换 (CWLT) 的直接模式分离方法，该方法表现出比 SST 更准确的模式恢复性能。
尽管上述方法在理论上是有根据的，但人们普遍隐含地假设感兴趣的信号应该具有良好分离的 IF。这种假设导致了如何处理具有紧密间隔或重叠 IF 的多模信号的问题，尤其是在信噪比 (SNR) 较低的情况下。图 1 提供了这种情况下的信号示例。在 [46] 中，Zhu 等人。提出了一种基于 chirplet 变换的三维提取变换（TET）[47]。通过高度集中的时频啁啾表示（TFCR）TET，可以联合估计每个信号模式的中频和啁啾，并可以通过频谱聚类进行分量分离，使频谱重叠的模式表现为分离在三维 TFCR 域中，这进一步减轻了 SST 和 SET 的可分离性限制。另一方面，Chui 等人。 [48] 引入了时间尺度啁啾率 (TSC-R) 恢复变换的概念，并应用所提出的 TSC-R 变换来获得 IF 估计和信号模式恢复的准确误差范围，特别是对于具有交叉 IF 的信号。为了实现模式分解，每个模式的准确中频估计是关键因素。中频估计的开创性工作可以追溯到单模信号的工作[49]。然后分别为光谱非重叠多模信号[28]、[50]-[53]和光谱重叠多模信号[30]、[32]、[54]-[57]开发了方法.陈等人。 [32]、[58] 提出了一种使用固有啁啾分量分解 (ICCD) 的模式分离方法，该方法可以通过平衡交叉 TF 点处模式的能量来准确分离重叠模式。此外，[32]中的作者提出了一种脊路径重组（RPRG）机制来提取重叠模式的IF作为ICCD的输入。然而，RPRG 的性能高度依赖于使用的脊检测器，并且在低 SNR 的情况下可能会有性能限制。在 [30] 中，Khan 等人。利用 IF 曲线的缓慢变化和方向来准确跟踪 IF，并通过仅针对选定的频率区间和旋转顺序计算窗口傅里叶变换来优化计算成本和内存需求，从而避免计算完整的 TFR。由于线性 TFR 的简单性和对 CT 的免疫性，Abdoush 等人。 [59] 开发了两个线性 TF 变换，在此基础上提出了一种用于噪声多模信号的自适应 IF 估计方法。模式分离的另一个问题在于，在许多实际应用中，模式的数量是未知的，并且需要正确分解信号。与仅适用于具有良好分离模式的信号的基于 Rényi 熵的方法相比，Bruni 等人。 [60] 提出了一种基于信号复杂度的信号模式计数方法，以解决不可分离模式下的挑战性问题。尽管近年来 TFR 在模式分解领域的应用激增，但在强噪声环境下分析复杂信号的努力仍然不足。

图1 SNR = 5 dB 时三种典型多模信号的 STFT：（a）五种 FM 模式，包括一种线性 FM（LFM）、两种正弦 FM（SFM）、一种阻尼 SFM 和一种非线性 FM。 (b) 两个重叠和弱调制的 SFM 模式。 © 两种重叠和强调制的 SFM 模式。

3. 信号模型和问题表述

考虑观察具有I时变模式的噪声信号，该模式被加性噪声污染：

其中ρi[n]是第i个模式的IA，T表示采样间隔。第 i 个模式的 IF，fi[n]，由其相应解析信号的相位导数定义。第 i 个模式对应的随机相位 θi 均匀分布在 [0, 2π) 上，而 ϵ[n] 是零均值加性白噪声。上式中的通用信号模型可以容纳各种实际信号。现实世界的信号通常以任意数量和类型的模式接收，这表明中频曲线可能紧密存在甚至重叠。我们没有假设 IF 不重叠，而是尝试对上式中的信号放宽这样的条件。为了处理图 1 中的复杂情况，我们做出以下假设： i) 信号模式的数量未知； ii) 信号可能被强噪声污染； iii) 不同模式的 IF 可以任意分布，例如，有时 IF 可能重叠。所提出的 ETFR-MD 方法的目标是分别增强和恢复每种模式的 IF fi[n] 和 IA ρi[n]，i=1,…,I。

4. 增强的时频表示和模式分解

所提出的 ETFR-MD 方法的一般流程图如图 2 所示，其中输入是噪声观察 s[n]，输出可以是增强的 TFR 或分解的信号模式（在突出显示的圆形框中）。请注意，我们的重点是增强 IF 估计（图中的灰色区域），通过它可以减轻初始 IF 估计中的噪声。中频增强的另一个好处是可以单独恢复每个模式的中频信息，而其他模式的干扰几乎可以忽略不计。然后，简单地从基于高斯窗口的 STFT 中提取每种模式的 IA 信息。或者，去啁啾或方法 [30]、[31] 和 ICCD 方法 [32] 也被考虑并用于 IA 恢复。

图2 增强型时频表示和模式分解 (ETFR-MD) 的示意图。

A. 初始IF估计

大多数现有的 IF 估计方法都基于线性或非线性 TFR 和图像处理技术。据调研，自适应内核 TFR，例如 ADTFD [19] 和局部最优谱图 (LOS) [24]，尤其是对于具有Close Mode的信号而言，其性能优于谱图。然而，线性 TFR 不涉及复杂的参数调整并且易于实现。考虑到线性 TFR 的效率及其对 CT 的免疫力，STFT 被用作初始 IF 估计的第一步，如 [32] 中所示。现有的参数化方法需要信号模型知识，计算复杂。此外，IF 通常表现出无法预料的变化，并且参数模型是未知的。Viterbi 算法 [52] 可用于处理高噪声环境中的非重叠信号模式，而修改版本 [61]、[62] 旨在解决重叠 TF 交叉点的切换问题。为了进一步解决切换问题，我们将 Djurovi´c 和 Stankovi´c [52] 对非重叠模式的工作扩展到非重叠和重叠情况，并提出了平滑曲率约束，产生了非参数基于 STFT 的解决方案，而无需 IF 先验。为了实现这一点，提出了三个惩罚函数，如图 3 所示。

图3 STFT(SNR = 0 dB)中两种频率重叠正弦FM模式的初始IF估计的罚函数图示。
我们方法的基本思想是在STFT平面中找到从开始到结束时间片的最佳路径。
考虑到这三种损失，最佳路径形成IF估计，可以表示为

其中，n∈[0,N−1]表示时间索引，S是IF段的数量，g[s]是第S段的梯度，N是时间片的数量。此外，p[n]表示属于集合P的所有可能路径，并且我们假设每个路径由S个线性段(图3中的红线)近似。所提三个罚函数{Pi}i=1,2,3如下式：

P1 : j∈[1,Nfft], 其中Nfft是每个时间切片的频率样本数。STFTs[n,f]按降序排列: ∣STFTs[n,f1]∣≥⋯≥∣STFTs[n,fj]∣⋯≥∣STFTs[n,fNfft]∣。这意味着一个大的 ∣STFTs[n,fj]∣ 对应一个小的P1，反之亦然。
P2:由于迭代函数系统是自然平滑的，我们将最大值与描述相邻时刻转换规则的平滑约束合并，平滑约束由惩罚参数c1和容许的频率变化Δ1量化。
P3:这个惩罚是为了避免在IF交叉路口的估计错误。如图3所示，我们计算每两个相邻IF段的曲率，并通过惩罚具有大曲率的线性段的组合来改进IF估计。惩罚参数c2和容许曲率变化Δ1根据具体应用来确定。
算法1总结了多模式信号的初始IF估计方法的步骤。尽管它对复杂信号有效，但合成的IF曲线仍然可能不平滑，特别是在强噪声下，这就是引起模式重构误差的主要因素。这促使我们进一步增强初始的IFs。

Reference

H. Zhang, G. Hua and Y. Xiang, “Enhanced Time-Frequency Representation and Mode Decomposition,” in IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 69, pp. 4296-4311, 2021, doi: 10.1109/TSP.2021.3093786.

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增强的时频表示和模式分解

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