一道有关自然对数e的不等式问题

问题Sn=∑k=1nkk，n∈N+，证：n≥2时，nn[1+14(n−1)]≤Sn≤nn[1+2e(n−1)]成立S_n=\sum_{k=1}^n{k^k}\text{，}n\in N^+\text{，证：}n\ge 2\text{时，}n^n\left[ 1+\frac{1}{4\left( n-1 \right)} \right] \le S_n\le n^n\left[ 1+\frac{2}{e\left( n-1 \right)} \right] \text{成立}Sn=k=1∑nkk，n∈N+，证：n≥2时，nn[1+4(n−1)1]≤Sn≤nn[1+e(n−1)2]成立

考虑右侧
1+22+...+(n−1)n−1nn<(n−1)nn−1+(n−1)n−1nn=2n−1(1−1n)n≤2e(n−1)\frac{1+2^2+...+\left( n-1 \right) ^{n-1}}{n^n}<\frac{\left( n-1 \right) n^{n-1}+\left( n-1 \right) ^{n-1}}{n^n}=\frac{2}{n-1}\left( 1-\frac{1}{n} \right) ^n\le \frac{2}{e\left( n-1 \right)}nn1+22+...+(n−1)n−1<nn(n−1)nn−1+(n−1)n−1=n−12(1−n1)n≤e(n−1)2

考虑左侧
对于函数f(x)=xln⁡(1−1x)f\left( x \right) =x\ln \left( 1-\frac{1}{x} \right)f(x)=xln(1−x1)
求导得f′(x)=ln⁡(1−1x)+x(1x−1−1x)=ln⁡(1−1x)−−1x1−1x>0f'\left( x \right) =\ln \left( 1-\frac{1}{x} \right) +x\left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x} \right) =\ln \left( 1-\frac{1}{x} \right) -\frac{-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}>0f′(x)=ln(1−x1)+x(x−11−x1)=ln(1−x1)−1−x1−x1>0
注意到x∈N+⇒f(2)=f(x)min⁡x\in N^+\Rightarrow f\left( 2 \right) =f\left( x \right) _{\min}x∈N+⇒f(2)=f(x)min
1+22+...+(n−1)n−1nn>(n−1)n−1nn=1n−1(1−1n)n≥14(n−1)\frac{1+2^2+...+\left( n-1 \right) ^{n-1}}{n^n}>\frac{\left( n-1 \right) ^{n-1}}{n^n}=\frac{1}{n-1}\left( 1-\frac{1}{n} \right) ^n\ge \frac{1}{4\left( n-1 \right)}nn1+22+...+(n−1)n−1>nn(n−1)n−1=n−11(1−n1)n≥4(n−1)1
即nn[1+14(n−1)]≤Sn≤nn[1+2e(n−1)]n^n\left[ 1+\frac{1}{4\left( n-1 \right)} \right] \le S_n\le n^n\left[ 1+\frac{2}{e\left( n-1 \right)} \right]nn[1+4(n−1)1]≤Sn≤nn[1+e(n−1)2]

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