ZSTU2019校赛 Problem D Lis（线性基dp）

我的做题思路参考的是这位大佬（代码就把他的抄了一遍）

https://blog.csdn.net/kzn2683331518/article/details/88768657

题面：

令LIS(S)为序列S的最长递增子序列的长度
给你n个非负整数，a[0],a[1],...,a[n-1]，你可以对这个数组进行零次或多次操作，每次操作选择一个i(0<=i<=n-2),将a[i+1]变成(a[i+1] xor a[i])
你的任务是使得LIS(a)越大越好，输出LIS(a)的最大值

解题思路：

一步步来

1. 首先知道a^b^b = a 这个性质，并且一个数可以无限次异或前一位。

那么举个例子

a1 a2 a3 a4，请问a4可以得到哪几种异或的结果？

①：a2=a2^a1 --> a3=a3^(a2^a1) --> a4=a4^(a3^a2^a1),这是第一种

②：a3=a3^a2 --> a4=a4^(a3^a2),这是第二种

③：a4 = a4^a3,这是第三种

④ ：在①的基础上a2 =（a2^a1）^a1=a2

a3 = (a3^a2^a1)^a2=a3^a1

a4 = (a4^a3^a2^a1)^(a3^a1) = a4^a2，这是第四种

⑤：对前面三项经过多次操作后，还可以得到a4^a1, a4^a1^a2, a4^a1^a3, a4^a2^a3...

于是归纳出结论：对于a[i],可以xjb乱异或前面的a[j] (j<i)

2. 构造线性基数组

还是举个例子吧：

给你五个数：

5 7 8 9 12

转化为二进制：

101 111 1000 1001 1100

亲，跟着我这么做：

首先构造一个lb[i][j]二维数组，表示是a[i]第j位上的线性基

现在我们假设求a[6]的线性基：

①先分析一下：

我们知道，暴力求出a[6]有多少种异或的方法并得到最小值需要2的五次方次（也就是2的(i-1)次方）计算

而利用线性基求固定63次运算（n很大的时候就省时间了）

63怎么得来的（long long型正数最大二进制下63位）

②开始构造a[6]的线性基，构造完再讲一下原理：

先扔进来101，从高到低遍历，第三位是1，判断lb[6][3]是否被赋值过（显然没有，还是初始化状态）

于是lb[6][3]=101(5)，oj8k，直接return。

再扔进来111，再遍历，第三位是1，但lb[6][3]被赋值过，那怎么办？把111^lb[6][3],变成了010，

再判断第二位是1，lb[6][2]没有被赋值，于是lb[6][2]=010(2),oj8k.

然后打字好累长话短说，lb[6][4]=8

lb[6][1] = 1

最后的1100变成0，最后没有进入lb[6]的线性基

最后，看构造出来的lb[6]结果：

0101

0010

1000

0001

因为前五个数没有超过15的，所以只要四位就够了，这样四个每个都有一个1在各自位子上的数一定可以表示出这四个数异或出来的所有结果，而a[6]异或最大值只要将他的线性基从高到低遍历，如果当前线性基使得结果增大，那么就异或一下。

（这里具体我就说不清了，根据a^b^b=a这个性质应该可以证明）

3.构造dp数组：

前面求得了线性基，最终目的是修改a[i]的值，使其比a[i-1]大的同时尽可能小。

dp[i][j]表示前i位长度为j的lis最小后缀（注意LIS不必是连续的一串，中间可以断一下）

dp[i][j] = min (dp[i-1][j]，计算得来的dp[i][j]);

4.关于代码里求比上一项大的最小值的那一坨代码（getminmax）的解释

看懂了代码其他部分再来看吧

先预设x为最大值，

if（x<g）滚，没有，最大的都不是
else {
    x异或当前位，判断是否比g大，
       大就判断和之前x谁大
       小就对后面的基搞来搞去，搞出后面的基可以异或出的最大的数
       如果比g大，那么此时最小的x就变成tmp
      要问为什么？（因为我来了）    x = same 1 xxxx >g
                      这个 tmp = same 0 yyyy > g
}

代码：（这个1要longlong 是真的挺坑的，我打赌以后自己还会错）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;const int N = 105;ll lb[N][65],dp[N][N],a[N];void get_lb(int i,ll x)
{for (int j = 62;j>=0;j--){if ((x>>j)&1){//if (((ll)1<<j)&x){//或者这样，但是记得longlongif (!lb[i][j+1]){lb[i][j+1] = x;return ;}else x = x^lb[i][j+1];}}
}ll getmin(int i,ll x)
{ll ans = x;for (int j=63;j>=1 && ans;j--){ans = min(ans,ans^lb[i][j]);}return ans;
}ll getminmax(int i,ll x)
{ll ans = a[i];///不要写成  = x  -_-||for (int j=63;j>=1;j--) ans = max(ans,ans^lb[i][j]);if (ans<=x) return INF;for (int j=63;j>=1;j--){ll temp = ans^lb[i][j];if (temp>ans) continue;if (temp>x) ans = temp;else {for (int k=j-1;k>=1;k--)temp = max(temp,temp^lb[i][k]);if (temp>x) ans = temp; }}return ans;
}int main()
{int n;while (~scanf("%d",&n)){memset(lb,0,sizeof lb);memset(dp,INF,sizeof dp);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",a+i);for (int i=2;i<=n;i++){memcpy(lb[i],lb[i-1],sizeof lb[i-1]);get_lb(i,a[i-1]);}dp[1][1] = a[1];for (int i=2;i<=n;i++) dp[i][1] = min(getmin(i,a[i]),dp[i-1][1]);for (int i = 2;i<=n;i++)for (int j=2;j<=i;j++)if (dp[i-1][j-1]==INF) break;else dp[i][j] = min(dp[i-1][j],getminmax(i,dp[i-1][j-1]));
/*for (int i = 1;i<=n;i++){for (int j=1;j<=i;j++){if (dp[i][j]==INF) printf("dp[%d][%d]=INF  ",i,j);else printf("dp[%d][%d]=%lld  ",i,j,dp[i][j]);}printf("\n");}
*/for (int i=n;i>=1;i--){if (dp[n][i]!=INF){printf("%d\n",i);break;}}}return 0;
}

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