Q上多项式可约性深化定理

令Z[x]是整数环Z上的多项式环，对于f(x)∈Z[x]f(x)\in Z[x]f(x)∈Z[x], 且f(x)在有理数域Q上可约，则一定存在非零次多项式g(x),h(x)∈Z[x]g(x),h(x)\in Z[x]g(x),h(x)∈Z[x],使得f(x)=g(x)∗h(x)f(x) = g(x) * h(x)f(x)=g(x)∗h(x)。

证明

引理1(高斯引理)

本原多项式

f(x)∈Z[x]f(x)\in Z[x]f(x)∈Z[x]，且f(x)的系数a0,...,ana_0,...,a_na0,...,an互素(n>0)，则称为本原多项式

高斯引理描述

两个本原多项式的乘积仍然是本原多项式。

高斯引理证明

f(x),g(x)是两个本原多项式，它们的系数分别是a0,...,ana_0,...,a_na0,...,an和b0,...,bmb_0,...,b_mb0,...,bm, 它们的乘积为h(x),其系数为c0,...,crc_0,...,c_rc0,...,cr(r=m+n), 则
ck=∑i+j=kaibjc_k = \sum_{i+j =k}a_ib_jck=i+j=k∑aibj
反证法来证明。假设h(x)的系数c0,...,crc_0,...,c_rc0,...,cr有公约素数p。
假设as是a0,...,ana_s是a_0,...,a_nas是a0,...,an中第一个不被p整除,那么p∣aibj(i<s)p\mid a_ib_j (i<s)p∣aibj(i<s);bt是b0,...,bmb_t是b_0,...,b_mbt是b0,...,bm中第一个不被p整除, 那么p∣aibj(j<m)p\mid a_ib_j (j<m)p∣aibj(j<m)
cs+t=∑i+j=s+taibj=asbt+∑i+j=s+t,i≠s,j≠taibjc_{s+t} = \sum_{i+j = s+t}a_ib_j = a_sb_t + \sum_{i+j = s+t, i\neq s, j\neq t}a_ib_jcs+t=i+j=s+t∑aibj=asbt+i+j=s+t,i=s,j=t∑aibj
而p∣cs+tp\mid c_{s+t}p∣cs+t, p∣∑i+j=s+t,i≠s,j≠taibjp\mid \sum_{i+j = s+t, i\neq s, j\neq t}a_ib_jp∣∑i+j=s+t,i=s,j=taibj,
所以p∣asbtp\mid a_sb_tp∣asbt，那么p∣asp\mid a_sp∣as或者p∣btp\mid b_tp∣bt,矛盾。
所以假设不成立。
所以h(x)的系数c0,...,crc_0,...,c_rc0,...,cr互素。

原命题证明

f(x)在Q上可约，那么存在Q上的两个次数小于f(x)的多项式g1(x),g2(x)g_1(x), g_2(x)g1(x),g2(x)，使得
f(x)=g1(x)g2(x)f(x) = g_1(x)g_2(x)f(x)=g1(x)g2(x)
a1a_1a1是g_1(x)的系数的公分母，可以进行变换g1(x)=1a1h1(x),h1(x)∈Z[x]g_1(x) = \frac 1{a_1} h_1(x), h_1(x)\in Z[x]g1(x)=a11h1(x),h1(x)∈Z[x], 提取h1(x)h_1(x)h1(x)的系数的最大公约数b1b_1b1, g1(x)=b1a1f1(x),f1(x)g_1(x) = \frac {b_1}{a_1} f_1(x), f_1(x)g1(x)=a1b1f1(x),f1(x)是本原多项式.
同样的方法，将g2(x)g_2(x)g2(x)化为b2a2f2(x)\frac {b_2}{a_2} f_2(x)a2b2f2(x).
那么f(x)=g1(x)g2(x)=b1b2a1a2f1(x)f2(x)f(x) = g_1(x)g_2(x) = \frac {b_1b_2}{a_1a_2} f_1(x)f_2(x)f(x)=g1(x)g2(x)=a1a2b1b2f1(x)f2(x),将b1b2a1a2\frac {b_1b_2}{a_1a_2}a1a2b1b2化简得到ts\frac tsst(s,t互素).
因为f(x)的系数都是整数，而s,t互素，则f3(x)=f1(x)f2(x)f_3(x) = f_1(x)f_2(x)f3(x)=f1(x)f2(x)的系数都要被s整除，而应用高斯引理f3(x)f_3(x)f3(x)是本原多项式，其系数互素，那么s只能为1. 那么
f(x)=rf1(x)f2(x)=(rf1(x))f2(x)f(x) = rf_1(x)f_2(x) = (rf_1(x))f_2(x)f(x)=rf1(x)f2(x)=(rf1(x))f2(x)
rf1(x),f2(x)∈Z[x]rf_1(x), f_2(x)\in Z[x]rf1(x),f2(x)∈Z[x]并且次数都小于f(x).满足要求.