函数与映射的区别和联系

一、相关概念

1.函数的概念

一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个（任意性）元素x，在集合B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y和它对应，这样的对应叫做集合A到集合B的一个函数（三性缺一不可）

函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应

这种“特殊对应”有何特点：1).可以是“一对一” 2).可以是“多对一” 3).不能“一对多” 4). A中不能有剩余元素 5).B中可以有剩余元素

判断两个函数相同：只看定义域和对应法则

2.映射的概念

一般地，设A、B是两个集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:Ａ→Ｂ为从集合A到集合B的一个映射（mapping）。

思考：映射与函数区别与联系？

函数——建立在两个非空数集上的特殊对应

映射——建立在两个非空集合上的特殊对应

1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射．

2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数．

3）映射与函数都是特殊的对应

思考：映射有“三性”：

①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；

②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；

③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.

3.用映射定义函数

(1).函数的定义：如果A、B都是非空数集，那末A到B的映射f:A → B就叫做A → B的函数。记作：y=f (x).

（2）定义域：原象集合A叫做函数y=f (x)的定义域。

（3）值域：象的集合C 叫做函数y=f(x)的值域。

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