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Chiaki Sequence Revisited

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 2106 Accepted Submission(s): 585

Problem Description

Chiaki is interested in an infinite sequence a1,a2,a3,..., which is defined as follows:

an={1an−an−1+an−1−an−2n=1,2n≥3

Chiaki would like to know the sum of the first n terms of the sequence, i.e. ∑i=1nai. As this number may be very large, Chiaki is only interested in its remainder modulo (109+7).

Input

There are multiple test cases. The first line of input contains an integer T (1≤T≤105), indicating the number of test cases. For each test case:
The first line contains an integer n (1≤n≤1018).

Output

For each test case, output an integer denoting the answer.

Sample Input

Sample Output

题意:

给你一个序列，序列的公式在上面，然后输入一个n，让你输出a[1..n]的和，即他的前缀和

解析:

这种题一开始都是打表找规律，队友找到的规律是a[i]的值是按规律递增的，并且每一个值出现的次数都是他分解成k=2^w*p(w是该数最大的能被2整除的最大幂数)后，w+1次。譬如说12=2^2*4，所以12这个数会出现3次并且是连续出现的,即有3项a[i]=12(i=l,l+1,l+2)，l未知。

把他们列出来就可以找到规律了。

1 3 5 7 9 ....... 出现1次的差为2的等差数列

2 6 10 14 18..... 出现2次的差为4的等差数列

4 12 20 28 36 ..... 出现3次的差为8的等差数列

8 24 40 56 72 .... 出现4次的差为16的等差数列

........

这样我们只要找到出现1次的等差数列的长度、出现2次的等差数列的长度、出现3次的等差数列的长度、......

我们就可以得到前缀和了。

那么我们首先就该知道a[n]这个数的值，这样才能求出上面各个等差数列的长度。

所以我们就二分它，因为你再观察一下这个数列就可以发现，这个每一个a[i]的值一定是在[i/2,i]之间的。

我们就二分它，那么如何验证。

首先知道一个数的值12=4*3，我们其实就可以得到各个等差数列的长度了。

1*12 ....（1，3，5，7，9，11）出现1次的等差数列长度为6

2*6 ....(2*1，2*3，2*5) 出现2次的等差数列长度为3

4*3....(4*1，4*3) 出现3次的等差数列长度为2

8*1.5 ....(8*1) 出现4次的等差数列长度为1

这样各个等差数列的长度就得到了。

那么验证的时候我们只要通过我们每次二分出来的值，来算出上述的长度。

并且这里需要注意因为n的范围是1e18，所以当最后得到a[n]的值计算前缀和的时候，作乘法的两个乘数都是需要模的，不然会爆long long ！！！

ans=(tmp%MOD*(n%MOD))%MOD，这样子。

#include <cstdio>
#include <cstring>typedef long long ll;
const int MOD = 1e9+7;inline void solve(ll x,ll &a,ll &b)
{ll y=x;ll res=y/2+y%2;ll cnt=1;while(y%2==0){cnt++;y=y>>1;res+=(y/2+y%2)*cnt;}ll tmp=cnt;while(y){cnt++;y=y>>1;res+=(y/2+y%2)*cnt;}a=res-tmp+2;b=res+1;}inline ll cal(ll y,ll x)
{ll pre=y;ll res=y/2+y%2;ll ans=(res%MOD+(res%MOD*((res-1)%MOD))%MOD+1)%MOD;ll cnt=1;ll t2=1;ll pp,tmp;while(y%2==0){t2=t2*2%MOD;cnt++;y=y>>1;if(y%2==0){pp=(y/2+y%2);tmp=(((pp%MOD)*(t2%MOD))%MOD+((pp%MOD*((pp-1)%MOD))%MOD*(t2%MOD))%MOD)%MOD;tmp=((tmp%MOD)*(cnt%MOD))%MOD;}else{pp=(y/2+y%2)-1;tmp=((pp%MOD*(t2%MOD))%MOD+((pp%MOD*((pp-1)%MOD))%MOD*(t2%MOD))%MOD)%MOD;tmp=(tmp%MOD*(cnt%MOD))%MOD;tmp=(tmp+(pre%MOD*(x%MOD))%MOD)%MOD;}ans=(ans+tmp)%MOD;}while(y){t2=t2*2%MOD;cnt++;y=y>>1;pp=(y/2+y%2);tmp=((pp%MOD*(t2%MOD))%MOD+((pp%MOD*((pp-1)%MOD))%MOD*(t2%MOD))%MOD)%MOD;tmp=((tmp%MOD)*(cnt%MOD))%MOD;ans=(ans+tmp)%MOD;}return ans;
}ll bin_search(ll x)
{ll l,r;l=x/2;r=x;while(l<r){ll mid=(l+r)>>1;ll a,b;solve(mid,a,b);if(b<x){l=mid+1;}else if(a>x){r=mid;}else{return cal(mid,x-a+1);break;}}/*ll a,b;solve(l,a,b);return cal(l,x-a+1);*/
}int main()
{int t;scanf("%d",&t);while(t--){ll x;scanf("%lld",&x);if(x==1) printf("1\n");else if(x==2) printf("2\n");else{printf("%lld\n",bin_search(x));}}return 0;
}

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