原子物理/狭义相对论初步

衰变定律N=N0e−λtN=N_0e^{-\lambda t}N=N0e−λt

定义衰变活跃度A=−dNdtA=\frac{-\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}A=dt−dN，代入衰变定律可以得到A=−λN0e−λt=−λNA=-\lambda N_0e^{-\lambda t}=-\lambda NA=−λN0e−λt=−λN

国际单位制中，AAA的单位是Becquerel(Bq)(Bq)(Bq)，定义为每秒钟有一个核发生了衰变。常用单位有Curie(Ci)(Ci)(Ci)，1Ci=3.7∗1010Bq1Ci=3.7*10^{10}Bq1Ci=3.7∗1010Bq

定义半衰期τ\tauτ表示核衰变至数量为原来一半的平均时间。满足N02=N0e−λτ\frac{N_0}{2}=N_0e^{-\lambda \tau}2N0=N0e−λτ，可以解出τ=ln⁡2λ\tau=\frac{\ln2}{\lambda}τ=λln2
值得注意的是，半衰期取决于原子核内部，与任何外界因素无关衰变规律是基于大量粒子的统计规律，不能精确地反映出粒子的具体衰变情况，只能作为大致的数量级估算和半定量分析，不表示某一个经过多长时间衰变。

原子核

原子核的组成——有赖于原子和中子的发现
1919年，Rutherford用α\alphaα粒子轰击原子核，发现原子。反应方程式：49Be+24He→612C+01n^9_4Be+^4_2He\to^{12}_6C+^1_0n49Be+24He→612C+01n
质子数=核电荷数=原子序数ZZZ
中子数NNN
质量数AAA
引入原子质量单位uuu——规定612C^{12}_6C612C处于其基态并静止的时候，质量为12u12u12u（121212个原子质量单位），计算得1u=1.6605402∗10−27kg1u=1.6605402*10^{-27}kg1u=1.6605402∗10−27kg
质子质量mp=1.6726∗10−27kg=1.00728u≈1um_p=1.6726*10^{-27}kg=1.00728u\approx1ump=1.6726∗10−27kg=1.00728u≈1u
中子质量mn=1.6749∗10−27kg=1.008664u≈1um_n=1.6749*10^{-27}kg=1.008664u\approx1umn=1.6749∗10−27kg=1.008664u≈1u
原子核的大小和形状：用高能电子散射实验探测电子分布
实验结果：原子核体积V∝V\proptoV∝质量数AAA
令RRR表示核电荷分布半径，R=r0A13R=r_0A^{\frac{1}{3}}R=r0A31，r0r_0r0称为核半径参量，不完全是常数。r0≈1.20fm→1.32fmr_0\approx1.20fm\to 1.32fmr0≈1.20fm→1.32fm，从重到轻依次增加
于是体积V=43πR3=43πr03A∝AV=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi r_0^3A\propto AV=34πR3=34πr03A∝A
核子
1. 组成核的作用力，属于强相互作用
2. 属于短程力，只对相邻的核子有作用
  作用半径R′=r0A13,r0≈1.4→1.5fm,R′>RR'=r_0A^{\frac{1}{3}},r_0\approx 1.4\to1.5fm,R'>RR′=r0A31,r0≈1.4→1.5fm,R′>R，核力作用半径大于电荷分布半径。因为这样的原因，轻核往往质子数核中子数相等，而重核质子数小于中子数，因为原子核表面有中子层
原子核结合能与平均结合能
1. 结合能ΔE\Delta EΔE：不是原子核具有的能量
  从结合角度定义：自由核子结合成原子核的过程中，所释放的能量称为结合能（这个过程称为聚变）
  从分解角度定义：将原子核分解成为自由核子的过程中，所吸收的最小能量称为结合能（这个过程称为裂变）
  从能量守恒的角度来看，大于结合能的能量自然可以将原子核分解成自然核子。类似于光电效应的电子阈能或称逸出功，结合能是一种能量的极限。
2. 平均结合能ΔEˉ\Delta\bar{E}ΔEˉ：原子核的结合能与其核内核子数的比值，也可以称为比结合能
  据定义：ΔEˉ=ΔEA\Delta\bar{E}=\frac{\Delta E}{A}ΔEˉ=AΔE，可以理解为：结合成原子核的过程中，平均每个核子释放出来的能量。
  比结合能和核子数的关系如下
  
  比结合能和质子数的关系如下图
  而平均每个核子释放的能量增加时，平均核子质量就会下降(Einstein质能方程)，故有：
  
  结论：ΔEˉ\Delta\bar{E}ΔEˉ增大，意味着拆开核子所需的能量越多，意味着拆开原子核越困难，意味着原子核越稳定。
例1：一个质子，一个中子合成一个氘核，mp+mn=2.015942u,mD=2.01355um_p+m_n=2.015942u,m_D=2.01355ump+mn=2.015942u,mD=2.01355u，则ΔE=[(mp+mn)−mD]c2=0.002390uc2\Delta E=[(m_p+m_n)-m_D]c^2=0.002390uc^2ΔE=[(mp+mn)−mD]c2=0.002390uc2.
而根据估算公式1uc2≈931.49043MeV⋅c−2(E=mc2)1uc^2\approx 931.49043MeV\cdot c^{-2}(E=mc^2)1uc2≈931.49043MeV⋅c−2(E=mc2)
则上面的ΔE≈2.225MeV\Delta E\approx 2.225MeVΔE≈2.225MeV
平均结合能不难计算，此处省略。
核能的释放：
1. 从平均核子质量的角度看核能释放：ΔE=Δmc2\Delta E=\Delta mc^2ΔE=Δmc2，整个体系能量下降直接意味着质量会亏损。在核反应中，质量会亏损，但是质量数不变
  聚变时，生成物平均核子质量一定会减小，而裂变时生成物平均核子质量一定会增大。
2. 从比结合能的角度看核能释放：
  以聚变为例，A+B→CA+B\to CA+B→C，提示：先将AB拆成自由粒子，再结合成C
  如12H+12H→24He^2_1H+^2_1H\to ^4_2He12H+12H→24He
  E1=NAEAˉ+NBEBˉE_1=N_A\bar{E_A}+N_B\bar{E_B}E1=NAEAˉ+NBEBˉ
  E2=(NA+NB)ECˉE_2=(N_A+N_B)\bar{E_C}E2=(NA+NB)ECˉ
  由于EAˉ<ECˉ,EBˉ<ECˉ\bar{E_A}<\bar{E_C},\bar{E_B}<\bar{E_C}EAˉ<ECˉ,EBˉ<ECˉ，反应释放能量。
例2：计算90232Th^{232}_{90}Th90232Th原子核的ΔEˉ\Delta\bar{E}ΔEˉ
例3：49BeΔE1ˉ=6.45MeV,24HeΔE2ˉ=7.07Mev^9_4Be \Delta \bar{E_1}=6.45MeV,^4_2He \Delta\bar{E_2}=7.07Mev49BeΔE1ˉ=6.45MeV,24HeΔE2ˉ=7.07Mev，做核反应：49Be→24He+24He+01n^9_4Be\to^4_2He+^4_2He+^1_0n49Be→24He+24He+01n，必须消耗多少能量?
例4：已知放射性碘131I^131I131I半衰期为8天：
1. 放射性常量λ\lambdaλ为多少:-0.00000100282
2. 1mCi1mCi1mCi的放射性同位素需要多少碘同位素

例5：88226Ra^{226}_{88}Ra88226Ra发生α\alphaα衰变转变成86222Rn^{222}_{86}Rn86222Rn，并释放两种粒子，能量分别是4.793MeV,4.612MeV4.793MeV,4.612MeV4.793MeV,4.612MeV。分别对应于88226Ra^{226}_{88}Ra88226Ra从同一能级跃迁到激发态和基态所发出的。同时88226Ra^{226}_{88}Ra88226Ra在上述衰变中还观测到γ\gammaγ射线，这是86222Rn^{222}_{86}Rn86222Rn从激发态到基态跃迁发出的。试求与两组α\alphaα粒子对应的^{226}_{88}的衰变能，以及发出 γ\gammaγ光子的频率。
注意衰变能公式ED=AA−4EkαE_D=\frac{A}{A-4}E_{k\alpha}ED=A−4AEkα，得能量即可。光子频率利用求得的86222Rn^{222}_{86}Rn86222Rn能极差即可
例6：32届复赛第一题（碳循环）

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