量子态层析(quantum state tomography)

量子层析可以分为：量子态层析和量子过程层析。这里介绍一下量子态层析。所谓的量子态层析，就是指的是如何通过测量的方式得到态密度ρ\rhoρ。
态密度是我们常用的，描述量子态的纯度等量子态的好坏量。它的定义如下：
ρ=∑0nPn∣φn⟩⟨φn∣\rho = \sum_0^n P_n |\varphi_n\rangle\langle \varphi_n| ρ=0∑nPn∣φn⟩⟨φn∣
其中，PnP_nPn是产生这个态∣φn⟩|\varphi_n\rangle∣φn⟩的概率，或是它占所有态的比重。

1-qubit的量子态层析

1-qubit的定义的只有一个可以变化的位置，且这个位置只能去0或者1. 因此可以写成：
∣φ⟩=cos⁡θ2∣0⟩+sin⁡θ2eiϕ∣1⟩|\varphi\rangle=\cos\frac\theta2|0\rangle+\sin\frac\theta2e^{i\phi}|1\rangle ∣φ⟩=cos2θ∣0⟩+sin2θeiϕ∣1⟩
其中有两个变量θ\thetaθ和ϕ\phiϕ。因此1-qubit的密度矩阵是个2维矩阵。
ρ=(a00a01a10a11)\rho=\begin{pmatrix}a_{00}& a_{01}\\a_{10}&a_{11}\\ \end{pmatrix} ρ=(a00a10a01a11)
考虑到密度矩阵满足的性质：
Tr ρ=1ρ=ρ†\text{Tr } \rho=1\\ \rho =\rho^\dag Tr ρ=1ρ=ρ†
因此得到，a00a_{00}a00和a11a_{11}a11是实数。a10a_{10}a10=a01†a_{01}^\daga01†。因此，决定这个密度矩阵的分别是4个实数：a00,a11,Re a10,Im a10a_{00},a_{11},\text{Re }a_{10},\text{Im }a_{10}a00,a11,Re a10,Im a10
因此，我们可以把他们拆解为如下的形式：
ρ=a00(1000)+a11(0001)+Re a10(0110)+Im a10(0−ii0)\rho=a_{00}\begin{pmatrix} 1&0\\0&0\end{pmatrix}+a_{11}\begin{pmatrix}0&0\\0&1 \end{pmatrix}+\text{Re }a_{10}\begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}+\text{Im }a_{10}\begin{pmatrix} 0&-i\\i&0\end{pmatrix} ρ=a00(1000)+a11(0001)+Re a10(0110)+Im a10(0i−i0)
分解的前三项描述的是它的实部，最后一项描述的是它的虚部。上述4个矩阵中的任意两个的乘积都是0，自己和自己的乘积是III.

以光子为例 光的偏振一般有三种分解的方法：水平/竖直，斜45度，左/右旋，对应的态分别为（未归一化）：
∣H⟩=∣0⟩，代表水平偏振∣V⟩=∣1⟩，代表竖直偏振∣D⟩=∣0⟩+∣1⟩，代表右上斜45度偏振∣A⟩=∣0⟩−∣1⟩，代表左上斜45度偏振∣R⟩=∣0⟩+i∣1⟩，代表右旋偏振∣L⟩=∣0⟩−i∣1⟩，代表左旋偏振\begin{aligned} &|H\rangle=|0\rangle& \text{，代表水平偏振}\\ &|V\rangle=|1\rangle& \text{，代表竖直偏振}\\ &|D\rangle=|0\rangle+|1\rangle& \text{，代表右上斜45度偏振}\\ &|A\rangle=|0\rangle-|1\rangle& \text{，代表左上斜45度偏振}\\ &|R\rangle=|0\rangle+i|1\rangle& \text{，代表右旋偏振}\\ &|L\rangle=|0\rangle-i|1\rangle& \text{，代表左旋偏振}\\ \end{aligned} ∣H⟩=∣0⟩∣V⟩=∣1⟩∣D⟩=∣0⟩+∣1⟩∣A⟩=∣0⟩−∣1⟩∣R⟩=∣0⟩+i∣1⟩∣L⟩=∣0⟩−i∣1⟩，代表水平偏振，代表竖直偏振，代表右上斜45度偏振，代表左上斜45度偏振，代表右旋偏振，代表左旋偏振
因此，我们可以得到：
P^H=∣H⟩⟨H∣=(1000)P^V=∣V⟩⟨V∣=(0001)P^D−P^A=(0110)P^R−P^L=(0−ii0)\begin{aligned} &\hat{P}_H=|H\rangle\langle H|=\begin{pmatrix} 1& 0\\0&0\end{pmatrix}\\ &\hat{P}_V=|V\rangle\langle V|=\begin{pmatrix} 0& 0\\0&1\end{pmatrix}\\ &\hat{P}_D-\hat{P}_A=\begin{pmatrix} 0& 1\\1&0\end{pmatrix}\\ &\hat{P}_R-\hat{P}_L=\begin{pmatrix} 0& -i\\i&0\end{pmatrix} \end{aligned} P^H=∣H⟩⟨H∣=(1000)P^V=∣V⟩⟨V∣=(0001)P^D−P^A=(0110)P^R−P^L=(0i−i0)
带入1-qubit的密度矩阵的表达式。我们可以得到：
a00=PH=⟨P^H⟩a11=PV=⟨P^V⟩2Re a01=PD−PA=⟨P^D−P^A⟩2Im a10=PR−PL=⟨P^R−P^L⟩\begin{aligned} &a_{00}=P_H=\langle\hat{P}_H\rangle\\ &a_{11}=P_V=\langle\hat{P}_V\rangle\\ &2\text{Re }a_{01}=P_D-P_A=\langle\hat{P}_D-\hat{P}_A\rangle\\ &2\text{Im }a_{10}=P_R-P_L=\langle\hat{P}_R-\hat{P}_L\rangle \end{aligned} a00=PH=⟨P^H⟩a11=PV=⟨P^V⟩2Re a01=PD−PA=⟨P^D−P^A⟩2Im a10=PR−PL=⟨P^R−P^L⟩

综上：我们可以分别测量H,V,D,A,R和L的平均值，组合，得到它的密度矩阵。其密度矩阵可以表达为如下的形式：
Re ρ=(PH(PD−PA)/2(PD−PA)/2PV)Im ρ=(0(PL−PR)/2(PR−PL)/20)\begin{aligned} &\text{Re }\rho=\begin{pmatrix}P_H&(P_D-P_A)/2\\(P_D-P_A)/2&P_V\end{pmatrix}\\ \\ &\text{Im }\rho=\begin{pmatrix}0&(P_L-P_R)/2\\(P_R-P_L)/2&0\end{pmatrix}\\ \end{aligned} Re ρ=(PH(PD−PA)/2(PD−PA)/2PV)Im ρ=(0(PR−PL)/2(PL−PR)/20)

2-qubit 量子态层析

通过1-qubit的启发，我们也以一种对称的取法，去分解相应的密度矩阵。首先我们分解一下密度矩阵的实数部分：
Re ρ=+a00(1)+a11(1)+a22(1)+a33(1)+Re a01(11)+Re a02(11)+Re a03(11)+Re a12(11)+Re a13(11)+Re a23(11)\begin{aligned} \text{Re }\rho&= +a_{00}\begin{pmatrix}1&&&\\&&&\\&&&\\&&&\end{pmatrix} +a_{11}\begin{pmatrix}&&&\\&1&&\\&&&\\&&&\end{pmatrix}\\ &+a_{22}\begin{pmatrix}&&&\\&&&\\&&1&\\&&&\end{pmatrix} +a_{33}\begin{pmatrix}&&&\\&&&\\&&&\\&&&1\end{pmatrix}\\ &+\text{Re }a_{01}\begin{pmatrix}&1&&\\1&&&\\&&&\\&&&\end{pmatrix} +\text{Re }a_{02}\begin{pmatrix}&&1&\\&&&\\1&&&\\&&&\end{pmatrix}\\ &+\text{Re }a_{03}\begin{pmatrix}&&&1\\&&&\\&&&\\1&&&\end{pmatrix} +\text{Re }a_{12}\begin{pmatrix}&&&\\&&1&\\&1&&\\&&&\end{pmatrix}\\ &+\text{Re }a_{13}\begin{pmatrix}&&&\\&&&1\\&&&\\&1&&\end{pmatrix} +\text{Re }a_{23}\begin{pmatrix}&&&\\&&&\\&&&1\\&&1&\end{pmatrix} \end{aligned} Re ρ=+a00⎝⎜⎜⎛1⎠⎟⎟⎞+a11⎝⎜⎜⎛1⎠⎟⎟⎞+a22⎝⎜⎜⎛1⎠⎟⎟⎞+a33⎝⎜⎜⎛1⎠⎟⎟⎞+Re a01⎝⎜⎜⎛11⎠⎟⎟⎞+Re a02⎝⎜⎜⎛11⎠⎟⎟⎞+Re a03⎝⎜⎜⎛11⎠⎟⎟⎞+Re a12⎝⎜⎜⎛11⎠⎟⎟⎞+Re a13⎝⎜⎜⎛11⎠⎟⎟⎞+Re a23⎝⎜⎜⎛11⎠⎟⎟⎞
上面10个矩阵有如下的特点，两两乘积均为0，自己与自己的乘积均为对角阵，且对角元为0或1. 我们不妨把这10个矩阵命名为：A0,A1,A2,A3,2B1,2B2,2B3,2B4,2B5,2B6.A_0, A_1, A_2, A_3, 2B_1, 2B_2, 2B_3, 2B_4, 2B_5, 2B_6.A0,A1,A2,A3,2B1,2B2,2B3,2B4,2B5,2B6.
因此我们得到了如下的密度矩阵的表达式：
Re ρ=(⟨A0⟩⟨B1⟩⟨B2⟩⟨B3⟩⟨A1⟩⟨B4⟩⟨B5⟩⟨A2⟩⟨B6⟩⟨A3⟩)\text{Re }\rho=\begin{pmatrix}\langle A_0\rangle&\langle B_1\rangle&\langle B_2\rangle&\langle B_3\rangle\\ &\langle A_1\rangle&\langle B_4\rangle&\langle B_5\rangle\\ &&\langle A_2\rangle&\langle B_6\rangle\\ &&&\langle A_3\rangle\\ \end{pmatrix} Re ρ=⎝⎜⎜⎛⟨A0⟩⟨B1⟩⟨A1⟩⟨B2⟩⟨B4⟩⟨A2⟩⟨B3⟩⟨B5⟩⟨B6⟩⟨A3⟩⎠⎟⎟⎞
接下来，我们就要寻找这10个矩阵他们对应的实际意义是什么。

首先，很显然，我们很显然的能得到前四个矩阵的具体意义。
A0=P^H⊗P^HA1=P^H⊗P^VA2=P^V⊗P^HA2=P^V⊗P^VA_0=\hat{P}_H\otimes\hat{P}_H\\ A_1=\hat{P}_H\otimes\hat{P}_V\\ A_2=\hat{P}_V\otimes\hat{P}_H\\ A_2=\hat{P}_V\otimes\hat{P}_V\\ A0=P^H⊗P^HA1=P^H⊗P^VA2=P^V⊗P^HA2=P^V⊗P^V
这四项是指2个端口分别测量H和V所组成的4种可能。同时，根据我们刚刚得到的P^D−P^A=(0110)\hat{P}_D-\hat{P}_A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}P^D−P^A=(0110)我们可以得到另外4个矩阵：
2B1=P^H⊗(P^D−P^A)=P^H⊗P^D−P^H⊗P^A2B2=(P^D−P^A)⊗P^H=P^D⊗P^H−P^A⊗P^H2B5=(P^D−P^A)⊗P^V=P^D⊗P^V−P^A⊗P^V2B6=P^V⊗(P^D−P^A)=P^V⊗P^D−P^V⊗P^A2B_1=\hat{P}_H\otimes(\hat{P}_D-\hat{P}_A)=\hat{P}_H\otimes\hat{P}_D-\hat{P}_H\otimes\hat{P}_A\\ 2B_2=(\hat{P}_D-\hat{P}_A)\otimes\hat{P}_H=\hat{P}_D\otimes\hat{P}_H-\hat{P}_A\otimes\hat{P}_H\\ 2B_5=(\hat{P}_D-\hat{P}_A)\otimes\hat{P}_V=\hat{P}_D\otimes\hat{P}_V-\hat{P}_A\otimes\hat{P}_V\\ 2B_6=\hat{P}_V\otimes(\hat{P}_D-\hat{P}_A)=\hat{P}_V\otimes\hat{P}_D-\hat{P}_V\otimes\hat{P}_A\\ 2B1=P^H⊗(P^D−P^A)=P^H⊗P^D−P^H⊗P^A2B2=(P^D−P^A)⊗P^H=P^D⊗P^H−P^A⊗P^H2B5=(P^D−P^A)⊗P^V=P^D⊗P^V−P^A⊗P^V2B6=P^V⊗(P^D−P^A)=P^V⊗P^D−P^V⊗P^A
至于另外2个矩阵，我们首先需要计算(P^D−P^A)⊗2(\hat{P}_D-\hat{P}_A)^{\otimes 2}(P^D−P^A)⊗2和(P^R−P^L)⊗2(\hat{P}_R-\hat{P}_L)^{\otimes 2}(P^R−P^L)⊗2
(P^D−P^A)⊗2=(1111)(P^R−P^L)⊗2=(−111−1)(\hat{P}_D-\hat{P}_A)^{\otimes 2}=\begin{pmatrix}&&&1\\&&1&\\&1&&\\1&&&\end{pmatrix}\\ (\hat{P}_R-\hat{P}_L)^{\otimes 2}=\begin{pmatrix}&&&-1\\&&1&\\&1&&\\-1&&&\end{pmatrix} (P^D−P^A)⊗2=⎝⎜⎜⎛1111⎠⎟⎟⎞(P^R−P^L)⊗2=⎝⎜⎜⎛−111−1⎠⎟⎟⎞
因此，我们得到：
2B3=[(P^D−P^A)⊗2−(P^R−P^L)⊗2]/22B4=[(P^D−P^A)⊗2+(P^R−P^L)⊗2]/22B_3=[(\hat{P}_D-\hat{P}_A)^{\otimes 2}-(\hat{P}_R-\hat{P}_L)^{\otimes 2}]/2\\ 2B_4=[(\hat{P}_D-\hat{P}_A)^{\otimes 2} +(\hat{P}_R-\hat{P}_L)^{\otimes 2}]/2 2B3=[(P^D−P^A)⊗2−(P^R−P^L)⊗2]/22B4=[(P^D−P^A)⊗2+(P^R−P^L)⊗2]/2

接下来，让我们计算密度矩阵的复部。我们需要如下的分解：
ρ−Re ρ=Im a01(i−i)+Im a02(i−i)+Im a03(i−i)+Im a12(i−i)+Im a13(i−i)+Im a23(i−i)\begin{aligned} \rho-\text{Re }\rho&= \text{Im }a_{01}\begin{pmatrix}&i&&\\-i&&&\\&&&\\&&&\end{pmatrix} +\text{Im }a_{02}\begin{pmatrix}&&i&\\&&&\\-i&&&\\&&&\end{pmatrix}\\ &+\text{Im }a_{03}\begin{pmatrix}&&&i\\&&&\\&&&\\-i&&&\end{pmatrix} +\text{Im }a_{12}\begin{pmatrix}&&&\\&&i&\\&-i&&\\&&&\end{pmatrix}\\ &+\text{Im }a_{13}\begin{pmatrix}&&&\\&&&i\\&&&\\&-i&&\end{pmatrix} +\text{Im }a_{23}\begin{pmatrix}&&&\\&&&\\&&&i\\&&-i&\end{pmatrix} \end{aligned} ρ−Re ρ=Im a01⎝⎜⎜⎛−ii⎠⎟⎟⎞+Im a02⎝⎜⎜⎛−ii⎠⎟⎟⎞+Im a03⎝⎜⎜⎛−ii⎠⎟⎟⎞+Im a12⎝⎜⎜⎛−ii⎠⎟⎟⎞+Im a13⎝⎜⎜⎛−ii⎠⎟⎟⎞+Im a23⎝⎜⎜⎛−ii⎠⎟⎟⎞
我们把上面6个矩阵分别命名为：2C1,2C2,2C3,2C4,2C5,2C62C_1, 2C_2, 2C_3, 2C_4, 2C_5, 2C_62C1,2C2,2C3,2C4,2C5,2C6. 利用矩阵P^L−P^R=(0i−i0)\hat{P}_L-\hat{P}_R=\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}P^L−P^R=(0−ii0)组合可以得到：
2C1=P^H⊗(P^L−P^R)2C2=(P^L−P^R)⊗P^H2C3=[(P^L−P^R)⊗(P^D−P^A)+(P^D−P^A)⊗(P^L−P^R)]/22C4=[(P^L−P^R)⊗(P^D−P^A)−(P^D−P^A)⊗(P^L−P^R)]/22C5=(P^L−P^R)⊗P^V2C6=P^V⊗(P^L−P^R)\begin{aligned} &2C_1=\hat{P}_H\otimes(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\\ &2C_2=(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\otimes\hat{P}_H\\ &2C_3=[(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\otimes(\hat{P}_D-\hat{P}_A)+(\hat{P}_D-\hat{P}_A)\otimes(\hat{P}_L-\hat{P}_R)]/2\\ &2C_4=[(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\otimes(\hat{P}_D-\hat{P}_A)-(\hat{P}_D-\hat{P}_A)\otimes(\hat{P}_L-\hat{P}_R)]/2\\ &2C_5=(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\otimes\hat{P}_V\\ &2C_6=\hat{P}_V\otimes(\hat{P}_L-\hat{P}_R)\\ \end{aligned} 2C1=P^H⊗(P^L−P^R)2C2=(P^L−P^R)⊗P^H2C3=[(P^L−P^R)⊗(P^D−P^A)+(P^D−P^A)⊗(P^L−P^R)]/22C4=[(P^L−P^R)⊗(P^D−P^A)−(P^D−P^A)⊗(P^L−P^R)]/22C5=(P^L−P^R)⊗P^V2C6=P^V⊗(P^L−P^R)

综上，我们得到了：

Re ρ=(⟨A0⟩⟨B1⟩⟨B2⟩⟨B3⟩⟨A1⟩⟨B4⟩⟨B5⟩⟨A2⟩⟨B6⟩⟨A3⟩)2B1=H⊗(D−A)2B2=(D−A)⊗H2B3=[(D−A)⊗2−(L−R)⊗2]/22B4=[(D−A)⊗2+(L−R)⊗2]/22B5=(D−A)⊗V2B6=V⊗(D−A)Im ρ=(0⟨C1⟩⟨C2⟩⟨C3⟩−⟨C1⟩0⟨C4⟩⟨C5⟩−⟨C2⟩−⟨C4⟩0⟨C6⟩−⟨C3⟩−⟨C5⟩−⟨C6⟩0)2C1=H⊗(L−R)2C2=(L−R)⊗H2C3=[(L−R)⊗(D−A)+(D−A)⊗(L−R)]/22C4=[(L−R)⊗(D−A)−(D−A)⊗(L−R)]/22C5=(L−R)⊗V2C6=V⊗(L−R)\begin{array}{c|c} \text{Re }\rho=\begin{pmatrix}\langle A_0\rangle&\langle B_1\rangle&\langle B_2\rangle&\langle B_3\rangle\\ &\langle A_1\rangle&\langle B_4\rangle&\langle B_5\rangle\\ &&\langle A_2\rangle&\langle B_6\rangle\\ &&&\langle A_3\rangle\\ \end{pmatrix} &\begin{aligned} &2B_1=H\otimes(D-A)\\ &2B_2=(D-A)\otimes H\\ &2B_3=[(D-A)^{\otimes 2}-(L-R)^{\otimes 2}]/2\\ &2B_4=[(D-A)^{\otimes 2}+(L-R)^{\otimes 2}]/2\\ &2B_5=(D-A)\otimes V\\ &2B_6=V\otimes(D-A)\\ \end{aligned}\\ \hline \text{Im }\rho=\begin{pmatrix}0&\langle C_1\rangle&\langle C_2\rangle&\langle C_3\rangle\\ -\langle C_1\rangle&0&\langle C_4\rangle&\langle C_5\rangle\\ -\langle C_2\rangle&-\langle C_4\rangle&0&\langle C_6\rangle\\ -\langle C_3\rangle&-\langle C_5\rangle&-\langle C_6\rangle&0\\ \end{pmatrix} &\begin{aligned} &2C_1=H\otimes(L-R)\\ &2C_2=(L-R)\otimes H\\ &2C_3=[(L-R)\otimes(D-A)+(D-A)\otimes(L-R)]/2\\ &2C_4=[(L-R)\otimes(D-A)-(D-A)\otimes(L-R)]/2\\ &2C_5=(L-R)\otimes V\\ &2C_6=V\otimes(L-R)\\ \end{aligned} \end{array} Re ρ=⎝⎜⎜⎛⟨A0⟩⟨B1⟩⟨A1⟩⟨B2⟩⟨B4⟩⟨A2⟩⟨B3⟩⟨B5⟩⟨B6⟩⟨A3⟩⎠⎟⎟⎞Im ρ=⎝⎜⎜⎛0−⟨C1⟩−⟨C2⟩−⟨C3⟩⟨C1⟩0−⟨C4⟩−⟨C5⟩⟨C2⟩⟨C4⟩0−⟨C6⟩⟨C3⟩⟨C5⟩⟨C6⟩0⎠⎟⎟⎞2B1=H⊗(D−A)2B2=(D−A)⊗H2B3=[(D−A)⊗2−(L−R)⊗2]/22B4=[(D−A)⊗2+(L−R)⊗2]/22B5=(D−A)⊗V2B6=V⊗(D−A)2C1=H⊗(L−R)2C2=(L−R)⊗H2C3=[(L−R)⊗(D−A)+(D−A)⊗(L−R)]/22C4=[(L−R)⊗(D−A)−(D−A)⊗(L−R)]/22C5=(L−R)⊗V2C6=V⊗(L−R)