bzoj1778 驱逐猪猡 [高斯消元+概率DP]

Description

奶牛们建立了一个随机化的臭气炸弹来驱逐猪猡。猪猡的文明包含1到N一共N个猪城。这些城市由M条由两个不同端点AjA_j和BjB_j (1≤Aj≤N;1≤Bj≤N)(1 \le A_j \le N; 1 \le B_j \le N) 表示的双向道路连接。保证城市1至少连接一个其它的城市。一开始臭气弹会被放在城市1。每个小时（包括第一个小时），它有P/Q (1≤P≤1,000,000,1≤Q≤1,000,000)(1 \le P \le 1,000,000 , 1 \le Q \le 1,000,000) 的概率污染它所在的城市。如果这个小时内它没有污染它所在的城市，那麽它随机地选择一条道路，在这个小时内沿着这条道路走到一个新的城市。可以离开这个城市的所有道路被选择的概率均等。因为这个臭气弹的随机的性质，奶牛们很困惑哪个城市最有可能被污染。给定一个猪猡文明的地图和臭气弹在每个小时内爆炸的概率。计算每个城市最终被污染的概率。如下例，假设这个猪猡文明有两个连接在一起的城市。臭气炸弹从城市1出发，每到一个城市，它都有1/2的概率爆炸。 1–2 可知下面这些路径是炸弹可能经过的路径（最后一个城市是臭气弹爆炸的城市）：
1: 1
2: 1-2
3: 1-2-1
4: 1-2-1-2
5: 1-2-1-2-1 …
要得到炸弹在城市1终止的概率，我们可以把上面的第1，第3，第5……条路径的概率加起来，（也就是上表奇数编号的路径）。上表中第k条路径的概率正好是(1/2)k(1/2)^k，也就是必须在前k-1个回合离开所在城市（每次的概率为1 - 1/2 = 1/2）并且留在最后一个城市（概率为1/2）。所以在城市1结束的概率可以表示为1/2+(1/2)3+(1/2)5+…1/2 + (1/2)^3 + (1/2)^5 + \dots 当我们无限地计算把这些项一个个加起来，我们最后会恰好得到2/3，也就是我们要求的概率，大约是0.666666667。这意味着最终停留在城市2的概率为1/3，大约为0.333333333。

Input

第1行: 四个由空格隔开的整数: N, M, P, 和 Q
第2到第M+1行: 第i+1行用两个由空格隔开的整数AjA_j和BjB_j表示一条道路。

Output

第1到第N行: 在第i行，用一个浮点数输出城市i被摧毁的概率。误差不超过10−610^{-6}的答桉会被接受（注意这就是说你需要至少输出6位有效数字使得答桉有效）。

Sample Input

2 1 1 2
1 2

Sample Output

0.666666667
0.333333333

Hint

2≤N≤3002 \le N \le 300
1≤M≤44,8501 \le M \le 44,850

Solution

我们构造一个n*n的转移矩阵E[ ][ ],其中E[i][j]表示i→ji\rightarrow j转移的概率,易得E[i][j]=(1−P/Q)deg[i]E[i][j]=\frac{(1-P/Q)}{deg[i]}
然后我们构造一个1*n的单位向量T[],表示当前走到每个点的概率,初始时T[0]=1,0,0,…,0T[0]={1,0,0,\dots,0} , T[i]=T[i−1]∗ET[i]=T[i-1]*E
设答案数组为ans,则有ans=∑i≥0P/Q∗T[i]=P/Q∗T∗(E0+E1+E2+…)ans=\sum_{i\ge 0}P/Q*T[i]=P/Q*T*(E^0+E^1+E^2+\dots)
根据无穷递降等比数列求和公式,ans=P/Q∗T∗I/(I−E)ans=P/Q*T*I/(I-E) [I为单位矩阵]
然后我们可以展开然后列出n个方程,利用高斯消元求解即可!

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 501
#define maxm 50010
#define eps 1e-7
// #define DEBUG
using namespace std;
int n,m,p,q;
double rate;
int edge[maxn][maxn];
double a[maxn][maxn];inline int dcmp(double x)
{if(abs(x)<=eps) return 0;else return x>0?1:-1;
}inline int read()
{char ch;int read=0,sign=1;doch=getchar();while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-');if(ch=='-') ch=getchar(),sign=-1;while(ch>='0'&&ch<='9'){read=read*10+ch-'0';ch=getchar();}return sign*read;
}void change()
{for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j){if(edge[i][j]) a[j][i]=(rate-1)/edge[i][0];if(i==j) a[i][j]+=1;}a[1][n+1]=rate;
}void prework()
{n=read(),m=read(),p=read(),q=read();rate=double(p)/double(q);for(int i=1,u,v;i<=m;++i){int u=read();int v=read();edge[u][v]=1;edge[v][u]=1;edge[u][0]++;edge[v][0]++;}change();
#ifdef DEBUGfor(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=n+1;++j)printf("%.3lf ",a[i][j]);printf("\n");}
#endif
}void gauss()
{for(int i=1;i<=n;++i){if(!dcmp(a[i][i])){int k=i;while(!dcmp(a[k][k])) k++;swap(a[k],a[i]);}for(int j=i+1;j<=n;++j){for(int k=i+1;k<=n+1;++k)a[j][k]-=a[i][k]*(a[j][i]/a[i][i]);a[j][i]=0;}}for(int i=n;i>1;--i){a[i][n+1]/=a[i][i];for(int j=1;j<i;++j){a[j][n+1]-=a[i][n+1]*a[j][i];a[j][i]=0;}}for(int i=1;i<=n;++i) printf("%.9lf\n",a[i][n+1]);
}int main()
{prework();gauss();return 0;
}