前言

最近在学习数学建模，这部分关于怎么使用Matlab，刚好记录下来，做电赛的时候这些常用的插值、拟合工具也是需要学习的，刚开始学，写的不好，欢迎大家批评指正。

以下是本篇文章正文内容

一、一维插值

用MATLAB软件求解插值问题
在MATLAB中提供了一个一维插值函数interp1，它的调用格式为
cy=interp1(x , y , cx , ‘method’)
其中x、y是所给数据的横纵坐标，要求x的分量按升序或降序排列，cx是待求的插值点的横坐标，返回值cy是待求的插值点的纵坐标，method是插值方法，该函数提供了四种可选的插值方法：

nearest——最邻近点插值。点和这两已知点间位置的远近来进行插值，取较近已知它根据已知两点间的插值插值点处的函数值作为未知插值点处的函数值。
linear——线性插值。它将相邻的数据点用直线相连，按所生成的直线进行插值。
spline——三次样条插值。它利用已知数据求出样条函数后，按样条函数进行插值。
cubic——三次插值。它利用已知数据求出三次多项式函数后，按三次多项式函数进行插值。（在我的Matlab2019b中名为pchip）
缺省时插值方法为分段线性插值。

下面用该函数来求解下列插值问题。
对于下面给定的4组数据，求在x=110处 y的值。

x	y
100	10
121	11
144	12
169	13

很明显，我们可以看出这组数据符合函数y=sqrt(x);
我们用科学计算器得到一个解cy*=10.4880。
接下来我们使用Matlab进行插值计算：
输入命令：

x=[100 121 144 169];
y=[10 11 12 13];
cx=110;
cy1=interp1(x,y,cx,'nearest');
cy2=interp1(x,y,cx,'linear');
cy3=interp1(x,y,cx,'pchip');
cy4=interp1(x,y,cx,'spline');

运行结果依次为 cy1 = 10、cy2 =10.4762、cy3 = 10.4869、cy4 = 10.4877 通过比较cy* = 10.4880，显然三次样条插值的结果最好。

二、函数拟合

2.1 多项式拟合

将数据点按多项式的形式进行拟合，使用最小二乘法可以确定多项式的系数，多项式拟合有指令语句和图形窗口两种方法。

2.1.1多项式拟合指令

polyfit(X,Y,N):多项式拟合，返回降幂排列的多项式系数。
polyval(P,xi):计算多项式的值。
其中，X，Y是数据点的值；N是拟合的最高次幂；P是返回的多项式系数；xi是要求点的横坐标。
例如对下面的数据进行多项式拟合。

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	9	7	6	3	-1	2	5	7	20

拟合的命令如下：

x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
P = polyfit(x,y,3);
xi = 0:0.2:10;
yi = polyval(P,xi);
plot(xi,yi,x,y,'r*');

得到的拟合曲线与原始数据的对照如图

2.1.2 图形窗口的多项式拟合

在图形窗口可以用菜单方式对数据进行简单、快速、搞笑的拟合。与2.1.1数据相同，先画出数据点：

x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9];
y = [9 7 6 3 -1 2 5 7 20];
plot(x,y,'r*');

然后在图形窗口单击Tools(工具)->Basic Fitting(基本拟合)，打开对话框，并按下图进行操作，其中分别用线性、二阶、三阶对数据进行了多项式拟合，下面的柱状图显示残差，可以看出，进行三阶多项式拟合的效果是最好的，与前述结果一样。

2.2 指定函数拟合

在Matlab中也可以用用户自定义的函数进行拟合。通过下面的例子可以了解用指定函数进行数据拟合的基本方法。

x	0	0.4	1.2	2	2.8	3.6	4.4	5.2	6	7.2	8	9.2	10.4	11.6	12.4	13.6	14.4	15
y	1	0.85	0.29	-0.27	-0.53	-0.4	-0.12	0.17	0.28	0.15	-0.03	-0.15	-0.071	0.059	0.08	0.032	-0.015	-0.02

在Matlab中先用命令画出上述的散点图：

x = [0 0.4 1.2 2 2.8 3.6 4.4 5.2 6 7.2 8 9.2 10.4 11.6 12.4 13.6 14.4 15];
y = [1 0.85 0.29 -0.27 -0.53 -0.4 -0.12 0.17 0.28 0.15 -0.03 -0.15 -0.071 0.059 0.08 0.032 -0.015 -0.02];
plot(x,y,'r*');

知道其对应的函数形式为 f ( t ) = a c o s ( k t ) e w t f(t) = acos(kt)e^{wt} f(t)=acos(kt)ewt,则可用Matlab进行拟合，程序如下：

syms t
x = [0;0.4;1.2;2;2.8;3.6;4.4;5.2;6;7.2;8;9.2;10.4;11.6;12.4;13.6;14.4;15];
y = [1;0.85;0.29;-0.27;-0.53;-0.4;-0.12;0.17;0.28;0.15;-0.03;-0.15;-0.071;0.059;0.08;0.032;-0.015;-0.02];
f = fittype('a*cos(k*t)*exp(w*t)','independent','t','coefficients',{'a','k','w'});
cfun = fit(x,y,f);
xi = 0:0.1:20;
yi = cfun(xi);
plot(x,y,'r*',xi,yi,'b-');

运行结果如图：

参考资料

《MATLAB在数学建模中的应用》卓金武《北京航空航天大学出版社》 , 2011.4

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