题型一七种未定式求极限

前言

1、七种不定型极限：零比零；一的无穷次方；无穷比无穷；零乘无穷；无穷减无穷；零的零次方；无穷的零次方。
2、拿到一个题的第一步应该是判断属于哪种不定型求极限，再动手。
3、遇到x不趋近于零的极限，一般要用到换元，常见的通过sin，cos，tan的周期加π或减π。

零比零常见手法

1、分母是x的高阶，一般会拆成多项相乘;
2、看到 a^x 转化为 e^(x*lna)，再用等价无穷小 e^x - 1 ~ x;
3、看到 e^x ，想到等价无穷小 e^x - 1；有可能是 e^x - e^y，提取一个 e^y，再用等价无穷小；
4、看到 @ - 1，想到 等价无穷小 e^x - 1 ~ x 或 等价无穷小 (1+x)^a - 1 ~ ax;
5、看到 lnx，想到 ln(1+x) ~ x;
6、看到根号，如果可以有理化则有理化；如果不可以有理化则用等价无穷小 (1+x)^a - 1 ~ ax；
7、看到 sin 和 tan 想到等价无穷小 sinx - x ~ -1/6 x^3 , tanx - x ~ 1/3 x^3；看到 sin(sinx)，tan(tanx),  令sinx = t, 转化为 sint - t；看到 sinxcosx，加减一项 sinx，利用等价无穷小 1 - cosx ~ 1/2 x^2；
8、看到 a^2 - b^2，想到平方差公式；

一的无穷次方

1、多用 (1 + x) ^ 1/x = e, x趋于零；

无穷减无穷

1、看到根号，如果可以有理化那就有理化；如果不能有理化，就提取根号下的公因式，用抓大放小来做；
2、如果没有根号，则要提取公因式，一般会出现 无穷乘零，处理方法有两种：第一种下放x^a,第二种下放无穷，转化为零比零；
3、出现两个分式要首先通分；

无穷比无穷

1、能提公因式先提公因式；
2、不能提公因式将分子用等价替换 换掉；
3、抓大放小原则；

无穷乘零

1、直接将无穷下放到分母；
2、借助中间变量给零凑出等价无穷小，再求极限；
3、如果有一项是 x^a，直接下放

零的零次方

1、等价转化为 e^(0ln0) 后出现 0 * 无穷，给左边的零找一个等价无穷小，接着算右边；

题型二多项式求和

1、直接算出每一项，找规律；
2、分子分母不同次，夹逼定理；
3、定积分定义；

题型三间断点的判别

1、见到 sin，cos，要想到周期性，利用变量替换让自变量趋近于零；
2、见到 e^x , 要区分正无穷还是负无穷；

题型四证明数列极限的存在性

证明存在性

1、如果单调递减找下界；
2、如果单调递增找上届；

求极限

设极限为A，对数列通项求极限；

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