字符串匹配——RabinKarp算法

给定主串T和模式串P，返回P在T中首次出现的位置，如果P不存在于T中，返回-1。

这样的问题就是字符串匹配问题，这里给出RabinKarp算法的思想。

设主串T的长度为n,模式串P的长度为m。

主串匹配起始位置s从0到n-m，计算出T[s..s+m-1]的对应值，与P[0…m-1]的对应值进行比较，如果相同，则匹配成功。不同，则s右移一位，也就是计算出T[s+1…s+m]的对应值。

对应值的计算方法可以称作简单的指纹算法。

RabinKarp算法中的指纹算法是基于hash函数的。

其原理为 h = f % q，假设q=5，hash(12)= 12 % 5 = 2

hash函数的性质：

if hash(s1) ≠ hash(s2) then s1 ≠ s2
但是hash(s1) = hash(s2)不意味着s1 = s2

模运算的性质：

(a + b) % q = (a % q + b % q) % q
(a * b) % q = ((a % q) * (b % q)) % q

假设字母表大小为d，hash因子为q，主串为T，长度为n，当前起始位置为s，模式串为P，长度为m，fp为P的指纹值，ft为T当前的指纹值。

预处理：

fp = (P[m - 1] + d * (P[m - 2] + d * (P[m - 3] + … + d * ((P[1] + d * (P[0] % q)) % q)…) % q
ft = (T[m - 1] + d * (T[m - 2] + d * (T[m - 3] + … + d * ((T[1] + d * (T[0] % q)) % q)…) % q

ft的迭代过程(右移一位)：

ft = (ft - T[s] * 10m−110^{m - 1}) * 10 + T[s + m]) % q

伪代码

假设字母表大小为d

RabinKarp(T, P)
01 q <- a prime larger than m or less than the  machine word length / d
02 c <- d^(m-1) mod q // run a loop multiplying by d mod q
03 ft <- 0; fp <- 0
04 for i <- 0 to m-1 // preprocessing
05  ft <- (d * ft + T[i]) mod q
06  fp <- (d * fp + P[i]) mod q
07 for s <- 0 to n - m // matching
08  if fp = ft then // run a loop to compare strings
09      if P[0...m-1] = T[s...s+m-1] return s
10  else ft <- ((ft - T[s]*c)*d + T[s+m]) mod q
11 return -1

实现代码

生成字母表

// 字母表
int alphaBet[maxNum];
// 字母表字母个数，也就是d进制
int d;
// 生成字母表,返回字母表字母个数
int markAlphaBet(string T, string P) {// 初始化字母表memset(alphaBet, 0, sizeof(alphaBet));int d = 0;for(int i = 0; i < T.length(); i++) {if(!alphaBet[T[i]]) {alphaBet[T[i]] = d++;}}for(int i = 0; i < P.length(); i++) {if(!alphaBet[P[i]]) {alphaBet[P[i]] = d++;}}return d;
}

RabinKarp算法

const int prime = 9999991;
int rabinKarp(string T, string P) {// 字符串长度int n = T.length();int m = P.length();// 计算d^(m-1) mod qint c = 1;for(int i = 0; i < m - 1; i++) {c = (d * c) % prime;}// 初始化int ft = 0;int fp = 0;// 预处理,计算T[0...m-1]和P[0...m-1]的hash值for(int i = 0; i < m; i++) {ft = (d * ft + alphaBet[T[i]]) % prime;fp = (d * fp + alphaBet[P[i]]) % prime;}// 匹配for(int i = 0; i <= n - m; i++) {// hash值相同if(ft == fp) {// 判断字符串T[i...i+m-1]与P[0...m-1]是否相等for(int j = 0; j < m; j++) {if(T[i + j] != P[j]) {break;}if(j == m - 1) {return i;}}} else {// 计算T[i+1...i+m]的hash值ft = ((ft - alphaBet[T[i]] * c) * d + alphaBet[T[i + m]]) % prime;}}return -1;
}

测试主程序

#include <iostream>
#include <cstring>using namespace std;const int maxNum = 1000 + 5;// 字母表
int alphaBet[maxNum];
// 字母表字母个数，也就是d进制
int d;
// 生成字母表,返回字母表字母个数
int markAlphaBet(string T, string P) {// 初始化字母表memset(alphaBet, 0, sizeof(alphaBet));int d = 0;for(int i = 0; i < T.length(); i++) {if(!alphaBet[T[i]]) {alphaBet[T[i]] = d++;}}for(int i = 0; i < P.length(); i++) {if(!alphaBet[P[i]]) {alphaBet[P[i]] = d++;}}return d;
}const int prime = 9999991;
int rabinKarp(string T, string P) {// 字符串长度int n = T.length();int m = P.length();// 计算d^(m-1) mod qint c = 1;for(int i = 0; i < m - 1; i++) {c = (d * c) % prime;}// 初始化int ft = 0;int fp = 0;// 预处理,计算T[0...m-1]和P[0...m-1]的hash值for(int i = 0; i < m; i++) {ft = (d * ft + alphaBet[T[i]]) % prime;fp = (d * fp + alphaBet[P[i]]) % prime;}// 匹配for(int i = 0; i <= n - m; i++) {// hash值相同if(ft == fp) {// 判断字符串T[i...i+m-1]与P[0...m-1]是否相等for(int j = 0; j < m; j++) {if(T[i + j] != P[j]) {break;}if(j == m - 1) {return i;}}} else {// 计算T[i+1...i+m]的hash值ft = ((ft - alphaBet[T[i]] * c) * d + alphaBet[T[i + m]]) % prime;}}return -1;
}/**
IN
at the thought of
thoughOUT
7
**/
int main() {// 主串和模式串string T, P;while(true) {// 获取一行getline(cin, T);getline(cin, P);d = markAlphaBet(T, P);int res = rabinKarp(T, P);if(res == -1) {cout << "主串和模式串不匹配。" << endl;} else {cout << "模式串在主串的位置为：" << res << endl;}}return 0;
}

输出数据

at the thought of
though
模式串在主串的位置为：7
abcdefg
gfedcba
主串和模式串不匹配。
fgdajhkfhjaskdlfgbyue
yue
模式串在主串的位置为：18
frajlkfajsdlkfgjkljkleg
jsd
模式串在主串的位置为：8
aaaaaaaaaaaaaaa
a
模式串在主串的位置为：0

算法分析

if q 是素数， hash函数将会使m位字符串在q个值中均匀分布
- 因此，仅有s个轮换中的每第q次才需要匹配指纹(匹配需要比较O(m) 次)
期望运行时间(如果q > m)：
- 生成字母表：O(n + m)
- 预处理：O(m)
- 外循环：O(n - m)
- 所有内循环：n−mqm=O(n−m)\frac{n-m}{q}m = O(n - m)
- 总时间：O(n + m)
最坏运行时间：O(nm)

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