1：基本初等函数的性质
2024-04-04 10:03:57
幂函数：y=xμy = x^\muy=xμ（μ∈R\mu \in Rμ∈R 是常数）
| 函数 | 定义域 | 值域 | 奇偶性 | 单调性 |
|---|---|---|---|---|
| y=xμy = x^\muy=xμ（μ\muμ 为正奇数） | RRR | RRR | 奇函数 | 增区间：RRR |
| y=xμy = x^\muy=xμ（μ\muμ 为正偶数） | RRR | [0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞) | 偶函数 | 减区间：(−∞,0](-\infty,0](−∞,0]；增区间：[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞) |
| y=xμy = x^\muy=xμ（μ\muμ 为负奇数） | ${x \in R | x \ne 0}$ | RRR | 奇函数 |
| y=xμy = x^\muy=xμ（μ\muμ 为负偶数） | ${x \in R | x \ne 0}$ | (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) | 偶函数 |
| y=xμy = x^\muy=xμ（μ\muμ 为无理数，μ>0\mu > 0μ>0） | [0,+∞][0,+\infty][0,+∞] | [0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞) | 非奇非偶函数 | 增区间：[0,+∞)[0, +\infty)[0,+∞) |
| y=xμy = x^\muy=xμ（μ\muμ 为无理数，μ<0\mu < 0μ<0） | (0,+∞)(0, +\infty)(0,+∞) | (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) | 非奇非偶函数 | 减区间：(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) |
| y=xmn×(−1)ky = x^{\frac{m}{n} \times (-1)^k}y=xnm×(−1)k（mmm 为奇数，nnn 为奇数，kkk 为偶数） | RRR | RRR | 奇函数 | 增区间：RRR |
| y=xmn×(−1)ky = x^{\frac{m}{n} \times (-1)^k}y=xnm×(−1)k（mmm 为奇数，nnn 为奇数，kkk 为奇数） | ${x \in R | x \ne 0}$ | ${x \in R | x \ne 0}$ |
| y=xmn×(−1)ky = x^{\frac{m}{n} \times (-1)^k}y=xnm×(−1)k（mmm 为奇数，nnn 为偶数，kkk 为偶数） | [0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞) | [0,+∞][0,+\infty][0,+∞] | 非奇非偶函数 | 增区间：[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞) |
| y=xmn×(−1)ky = x^{\frac{m}{n} \times (-1)^k}y=xnm×(−1)k（mmm 为奇数，nnn 为偶数，kkk 为奇数） | (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) | (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) | 非奇非偶函数 | 减区间：(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) |
| y=xmn×(−1)ky = x^{\frac{m}{n} \times (-1)^k}y=xnm×(−1)k（mmm 为偶数，nnn 为奇数，kkk 为偶数） | RRR | [0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞) | 偶函数 | 减区间：(−∞,0](-\infty,0](−∞,0]；增区间：[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞) |
| y=xmn×(−1)ky = x^{\frac{m}{n} \times (-1)^k}y=xnm×(−1)k（mmm 为偶数，nnn 为奇数，kkk 为奇数） | ${x \in R | x \ne 0}$ | (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) | 偶函数 |
其他性质
- 当 μ>0\mu > 0μ>0 时：
- 图像都经过点 (0,0)(0,0)(0,0) 和 (1,1)(1,1)(1,1)；
- 函数的图像在区间 [0,+∞)[0, +\infty)[0,+∞) 上是增函数；
- 在第一象限内，μ>1\mu > 1μ>1 时，导数值逐渐增大；μ=1\mu = 1μ=1 时，导数为常数；μ<1\mu < 1μ<1 时，导数值逐渐减小，趋近于 000。
- 当 μ<0\mu < 0μ<0 时：
- 图像都经过点 (1,1)(1,1)(1,1)；
- 函数的图像在区间 (0,∞)(0,\infty)(0,∞) 上是减函数；
- 在第一象限内，以 xxx 轴和 yyy 轴为两条渐近线；自变量趋近于 000 时，函数值趋近于 +∞+\infty+∞；自变量趋近于 +∞+\infty+∞ 时，函数值趋近于 000。
- 当 μ=0\mu = 0μ=0 时：
- 函数图像为直线 y=1y = 1y=1 去掉点 (0,1)(0,1)(0,1)。
指数函数：y=axy = a^xy=ax（a>0a > 0a>0 且 a≠1a \ne 1a=1）
| 函数 | 定义域 | 值域 | 奇偶性 | 单调性 |
|---|---|---|---|---|
| y=axy = a^xy=ax（a>1a > 1a>1） | RRR | (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) | 非奇非偶函数 | 增区间：RRR |
| y=axy = a^xy=ax（a>1a > 1a>1） | RRR | (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) | 非奇非偶函数 | 减区间：RRR |
其他性质
- 图像都经过点 (0,1)(0,1)(0,1)；
- 无界；
- 反函数为对数函数。
对数函数：y=logaxy = \log_a xy=logax（a>0a>0a>0 且 a≠1a \ne 1a=1）
| 函数 | 定义域 | 值域 | 奇偶性 | 单调性 |
|---|---|---|---|---|
| y=logaxy = \log_a xy=logax（a>1a > 1a>1） | (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) | RRR | 非奇非偶函数 | 增区间：(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) |
| y=logaxy = \log_a xy=logax（a>1a > 1a>1） | (0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) | RRR | 非奇非偶函数 | 减区间：(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞) |
其他性质
- 图像都经过点 (1,0)(1,0)(1,0)；
- 无界；
- 反函数为指数函数。
三角函数
| 函数 | 定义域 | 值域 | 奇偶性 | 单调性 | 周期 |
|---|---|---|---|---|---|
| y=sinxy = \sin xy=sinx | RRR | [−1,1][-1,1][−1,1] | 奇函数 |
增区间：[−π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi],k \in Z[−2π+2kπ,2π+2kπ],k∈Z； 减区间：[π2+2kπ,3π2+2kπ],k∈Z[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi],k \in Z[2π+2kπ,23π+2kπ],k∈Z |
2π2 \pi2π |
| y=cosxy = \cos xy=cosx | RRR | [−1,1][-1,1][−1,1] | 偶函数 |
增区间：[−π+2kπ,2kπ],k∈Z[-\pi + 2k\pi, 2k\pi],k \in Z[−π+2kπ,2kπ],k∈Z； 减区间：[2kπ,π+2kπ],k∈Z[2k\pi, \pi + 2k\pi],k \in Z[2kπ,π+2kπ],k∈Z |
2π2\pi2π |
| y=tanxy = \tan xy=tanx | {x∥x≠π2+kπ,k∈Z}\{x \| x \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in Z \}{x∥x=2π+kπ,k∈Z} | RRR | 奇函数 | 增区间：(−π2+kπ,π2+kπ),k∈Z(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k \pi), k \in Z(−2π+kπ,2π+kπ),k∈Z | π\piπ |
| y=cotxy = \cot xy=cotx | {x∥x≠kπ,k∈Z}\{x \| x \ne k\pi, k \in Z\}{x∥x=kπ,k∈Z} | RRR | 奇函数 | 减区间：(kπ,π+kπ),k∈Z(k\pi,\pi + k\pi),k \in Z(kπ,π+kπ),k∈Z | π\piπ |
| y=secxy = \sec xy=secx | {x∥x≠π2+kπ,k∈Z}\{x \| x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in Z\}{x∥x=2π+kπ,k∈Z} | (−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty,-1] \cup [1,+\infty)(−∞,−1]∪[1,+∞) | 偶函数 |
减区间：(−π2+2kπ,2kπ](-\frac{\pi}{2}+2k\pi,2k\pi](−2π+2kπ,2kπ] 和 [π+2kπ,3π2+2kπ)[\pi+ 2k\pi,\frac{3\pi}{2} + 2k\pi)[π+2kπ,23π+2kπ)，k∈Zk \in Zk∈Z 增区间：[2kπ,π2+2kπ)[2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi)[2kπ,2π+2kπ) 和 (π2+2kπ,π+2kπ](\frac{\pi}{2} + 2k\pi,\pi + 2k\pi](2π+2kπ,π+2kπ]，k∈Zk \in Zk∈Z |
2π2\pi2π |
| y=cscxy = \csc xy=cscx | {x∥x≠kπ,k∈Z}\{x \| x \ne k\pi, k \in Z\}{x∥x=kπ,k∈Z} | (−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty,-1] \cup [1,+\infty)(−∞,−1]∪[1,+∞) | 奇函数 |
减区间：[−π2+2kπ,2kπ)[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,2k\pi)[−2π+2kπ,2kπ) 和 (2kπ,π2+2kπ](2k\pi,\frac{\pi}{2} + 2k\pi](2kπ,2π+2kπ]，k∈Zk \in Zk∈Z 增区间：[π2+2kπ,π+2kπ)[\frac{\pi}{2} + 2k\pi,\pi+2k\pi)[2π+2kπ,π+2kπ) 和 (π+2kπ,3π2+2kπ](\pi + 2k\pi,\frac{3\pi}{2} + 2k\pi](π+2kπ,23π+2kπ]，k∈Zk \in Zk∈Z |
2π2\pi2π |
（上表中的 ∥\|∥ 符号即 ∣|∣ 符号，因为 CSDN 解析表格内 LaTex 公式的性质而暂时将就）
反三角函数
| 函数 | 定义域 | 值域 | 奇偶性 | 单调性 |
|---|---|---|---|---|
| y=arcsinxy = \arcsin xy=arcsinx | [−1,1][-1,1][−1,1] | [−π2,π2][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}][−2π,2π] | 奇函数 | 增区间：[−1,1][-1,1][−1,1] |
| y=arccosxy = \arccos xy=arccosx | [−1,1][-1,1][−1,1] | [0,π][0,\pi][0,π] | 非奇非偶函数 | 减区间：[−1,1][-1,1][−1,1] |
| y=arctanxy = \arctan xy=arctanx | RRR | (−π2,π2)(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})(−2π,2π) | 奇函数 | 增区间：RRR |
| y=arccotxy = arccot \ xy=arccot x | RRR | (0,π)(0, \pi)(0,π) | 非奇非偶函数 | 减区间：RRR |
| y=arcsecxy = arcsec \ xy=arcsec x | (−∞,1]∪[1,+∞)(-\infty,1] \cup [1,+\infty)(−∞,1]∪[1,+∞) | [0,π2)∪(π2,π][0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2},\pi][0,2π)∪(2π,π] | 非奇非偶函数 | 增区间：(−∞,−1](-\infty,-1](−∞,−1] 和 [1,+∞)[1,+\infty)[1,+∞) |
| y=arccscxy = arccsc \ xy=arccsc x | (−∞,1]∪[1,+∞)(-\infty,1] \cup [1,+\infty)(−∞,1]∪[1,+∞) | [−π2,0)∪(0,π2][-\frac{\pi}{2},0)\cup(0,\frac{\pi}{2}][−2π,0)∪(0,2π] | 奇函数 | 减区间：(−∞,−1](-\infty,-1](−∞,−1] 和 [1,+∞)[1,+\infty)[1,+∞) |
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