【数据结构】无向图与有向图的连通性及相关算法

I. 阅读前你所需的基础知识

了解图 (graph) 的基本知识 (什么是顶点, 什么是边, 什么是路径等等)
了解图的深度优先遍历 (DFT, Depth-first Traversal)
了解有向图 (directed graph) 与 无向图 (undirected graph)

II. 连通性(Connectedness)

无向图的连通性
- 无向图内的顶点连通性: 若有一条路径包含顶点A和顶点B，那么顶点A与顶点B互相连通
- 无向图的连通性：若图像内，任意取两个顶点都是互相连通的，那么则称此无向图是连通的
- 连通的无向图示例：下图是一个具有连通性的无向图，刚接触的人乍一看或许会认为"A和D之间根本就没有连接"，但这时就要注意顶点的连通性了，我们需要的不是A与D，而是存在一条路径，包含A与D，那么这条路径自然是存在的，即为A-B-C-D
有向图的连通性
- 有向图的连通性：与无向图不同的，有向图分为强连通 (strongly connected) 与弱连通 (weakly connected)，下面会逐个解释
- 有向图的强连通：对于图像内任意两个顶点A和顶点B，若存在一个A到B的路径并存在一个B到A的路径，那么称此有向图为强连通
- 强连通有向图示例：如下图，对于任意两个顶点存在相通的路径，则此图像为强连通的有向图
- 有向图的弱连通：若此有向图的无相基础图具有连通性，那么称此有向图为弱连通
  - 无相基础图 (underlying undirected graph) :移除一个有向图内所有边的方向性，可以理解为将有向图转变为了无向图
- 弱连通有向图示例：注意下面两张图，第一张图为有向图，第二张为其的无相基础图。这个图并不是强连通的有向图。我们用顶点A与顶点D为例，图像内存在A到D的路径，为A-B-C-D，但不存在D到A的路径，因为D不存在一个指向C的边。但是，它的无相基础图是连通的，所以此图为弱连通的有向图

III. 检测连通性的算法

对于连通性的检测，相对比较便利的方法就是使用深度优先遍历 (DFT) 来访问图内的所有元素，但针对有向图与无向图，我们有不同的检测方式

检测无向图是否连通的步骤：
1. 将所有顶点标记为未访问
2. 通过DFT访问所有顶点，被访问过的顶点标记为已访问
3. 检测是否所有顶点都已被访问，若有顶点未被访问，则图不具有连通性
- 伪代码：

IsUndirectedGraphConnected(UndirectedGraph graph)
{//将graph内所有顶点标记为未访问MarkAllVerticeUnvisited(graph)//任取一个起始顶点，从它开始进行DFT，任何被遍历到的顶点会被标记为已访问currentVertex = any vertex in graphDFTMarkVisited(currentVertex)//检测是否所有顶点都被访问过，并返回结果     return AllVerticeAreVisited(graph)
}

检测有向图是否强连通的步骤：
1. 将所有顶点标记为未访问
2. 通过DFT访问所有顶点，被访问过的顶点标记为已访问
3. 检测是否所有顶点都被访问，若有没被访问，则此图不是强连通有向图
4. 复制一份当前的有向图
5. 在复制的有向图内，将所有顶点标记为未访问
6. 在复制的有向图内，把所有的边的方向反转，比如原来A指向B的边，变为B指向A
7. 通过DFT访问复制的有向图内所有顶点，被访问过的顶点标记为已访问
8. 在复制的有向图内，检测是否所有顶点都被访问，若有没被访问，则此图不是强连通有向图
9. 如果第3与第8步均通过，则此图为强连通的有向图
- 为什么要反转边的方向然后再测一次？：为了证明强连通性，我们必须确保一个点可以“到达所有的点”，还要确保所有的点“可以回到某一个点”，这也是有向图比无向图复杂的地方。
  - 一个简单的示例：对于如下的有向图，假设我们以A为起点，只进行到第3步的检测，我们最后得出的结果是"此图是强连通的有向图"。然而我们明显看出，这个图是弱连通，因为E没有指向A的边。很明显，第一步只是证明了“A可以到达其他所有的顶点”，但没有证明“其他所有的顶点也可以到达A”。这时候，如果我们反转所有边的方向再次测试，就会发现A无法到达E，也就是变相说明“E无法到达A”。所以，这个图不是强连通的有向图
- 伪代码：

IsDirectedGraphStronglyConnected(DirectedGraph graph)
{//将graph内所有顶点标记为未访问MarkAllVerticeUnvisited(graph)//任取一个起始顶点，从它开始进行DFT，任何被遍历到的顶点会被标记为已访问currentVertex = any vertex in graphDFTMarkVisited(currentVertex)//检测是否所有顶点都被访问allvisited = AllVerticeAreVisited(graph)if allvisited == false:return false//复制graphDirectedGraph copyedGraph = Copy(graph)//将复制的图内所有顶点标记为未访问MarkAllVerticeUnvisited(copyedgraph)//反转所有边的方向ReverseAllEdges(copyedGraph)//在复制的图里找到与currentVertex相等的顶点， 并对复制图进行DFTnewCurrentVertex = copyedGraph.FindTheSameVertex(currentVertex)DFTMarkVisited(newCurrentVertex)//检测是否所有复制图内的顶点都被访问allvisited = AllVerticeAreVisited(copyedGraph)if allvisited == false:return false//若以上检测全部通过，则此图为强连通有向图return true
}

检测有向图是否弱连通的步骤：
1. 获取当前图的无相基础图
2. 检测无相基础图是否具有连通性
- （因为弱连通的验证与基本与验证无向图的连通性相同，所以这里不加伪代码，唯一多的一步就是获取一个有向图的无相基础图）

作者：0 warning
参考资料：我的课堂笔记= =

【数据结构】无向图与有向图的连通性及相关算法相关推荐

图相关算法~从头学算法【广搜、深搜、拓扑排序、并查集、弗洛伊德算法、迪杰斯特拉算法】
图的相关主流算法主要有: 广度优先搜索深度优先搜索拓扑排序并查集多源最短路径(弗洛伊德算法) 单源最短路径(迪杰斯特拉算法) 其中呢,最基本的是前两种,也就是平时常用的广搜和深搜,本文中将概要 ...
离散数学 --- 图论基础 --- 无向图的连通性和有向图的连通性
第一部分 ---- 无向图的连通性 1.完全图:任意两个结点之间都有边 2.零图:所有结点都是孤立结点 3.平凡图:仅有一个结点的图 1.等价类:R是集合上的一个等价关系,选定集合中的任意一个元素a, ...
图的连通性 —— 连通性的相关知识
图的连通性 -- 连通性的相关知识 [无向图的连通分量] 在无向图中,如果从节点vi 到节点vj 有路径,则称节点vi 和节点vj 是连通的.如果图中任意两个节点都是连通的,则称图G 为连通图.如下图 ...
数据结构——无向图创建邻接表以及深度遍历、广度遍历（C语言版）
摘自:数据结构--无向图创建邻接表以及深度遍历.广度遍历(C语言版) 作者:正弦定理发布时间:2020-12-22 20:55:12 网址:https://blog.csdn.net/chinese ...
无向图的关联矩阵JAVA_图的矩阵表示无向图及有向图的关联矩阵.doc
图的矩阵表示 --无向图及有向图的关联矩阵作者邢雪芬摘要:图论的内容丰富多彩,应用广泛,在许多学科中都有涉及图论的内容,篇是关于图论的一些小诠释,图的矩阵表示,无向图及有向图定义的声明和部分例题 ...
图----无向图、有向图
1.无向图定义图的定义:图是由一组顶点和一组能够将两个顶点相连的边组成边:edge 顶点:vertex 连通图:如果从任意一个顶点都存在一条路径到达另外一个任意顶点,我们称这幅图是连通图. 非连通 ...
【学习笔记】无向图、有向图的三元环、四元环计数问题（根号分支+bitset）
三元环计数和四元环计数问题无向图三元环计数问题根号分治 bitset 无向图四元环计数问题有向图三四元环计数问题无向图三元环计数问题根号分治记 di:id_i:idi:i 在原图中的度数 ...
Gephi画无向图和有向图（显示节点和边序号）
Gephi画无向图和有向图(显示节点和边序号) 数据形式如果画无向图只要把Type这一列设置成undirected,不填入数据默认是directed 导入数据以后就可以设计节点以及边的属性了,如下: ...
数据结构无向图简单路径
数据结构无向图简单路径一．课程设计目的和要求目的:锻炼学生对软件界面设计并进行实现的实践能力. 要求:(1)完成课程设计所给的所有功能. (2)根据课程设计的特点设计出相应的画面. 二．课程设计环 ...

【数据结构】无向图与有向图的连通性及相关算法

I. 阅读前你所需的基础知识

II. 连通性(Connectedness)

无向图的连通性

有向图的连通性

III. 检测连通性的算法

【数据结构】无向图与有向图的连通性及相关算法相关推荐

最新文章

热门文章