约数的和及约数的个数

约数的和及约数的个数

1.约数的个数等于:所有质因数的指数加上1后的乘积;
若一个数分解质因数后为(a^m)*(bn),其中a,b均为质因数;m,n均为相应质因数的指数.
则约数个数为(m+1)(n+1).
例如: (1)12=2²3,质因数有2和3,其指数分别为2和1,那么12的约数有(2+1)(1+1)=6(个);
(2)60=2²35,质因数2,3,5的指数分别为2,1,1,那么60的约数有(2+1)(1+1)(1+1)=12(个).
2.一个数所有约数之和等于:先把每个质因数从0次幂一直加到其最高次幂,再把每个相应质因数幂的和相乘.
若一个数分解为(a^m)*(bn),则这个数所有约数的和为: (a^0+a1+a^2+a3+…+a^m)*(b0+b^1+b2+b^3+…+bn).
例如:(1)12=2²3,则12所有约数的和为：(2⁰⁺²1+2^2)*(30+3^1)=74=28;
(2)60=2²35=(2⁰⁺²1+2^2)*(30+3^1)*(50+5^1)=746=168.

[ AHOI2005]约数研究 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn) (求1-n约数的个数的和)

CF1512G Short Task - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)（欧拉筛求约数和）

法一：求1-n任意数约数和  O(n*logn)#define ll long long
int s[1000010];
int main()
{int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){int i,t;memset(s,0,sizeof(s));for(i=1;i<=n;i++)for(t=i;t<=n;t+=i)s[t]++;  // 求约数的个数}
}
//求约数的和
for(i=1;i<=n;i++)
for(t=i;t<=n;t+=i)s[t]+=i;
//s[i]为i的约数和法二 欧拉筛求约数和  O(n)// s=an*bm*ct*....// res=(a0+a1+...an)*(b0+b1+...bm)*(c0+c1+...ct)*...void get_fc(){res[1]=fc[1]=1;for(int i=2;i<maxn;i++)res[i]=-1;for(int i=2;i<maxn;i++){if(!vis[i]){pr[++cnt]=i;  // 质数fc[i]=i+1;}for(int j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<maxn;j++){vis[i*pr[j]]=1;if(i%pr[j]==0){fc[i*pr[j]]=fc[i]+(fc[i]-fc[i/pr[j]])*pr[j];  // 合数break;}fc[i*pr[j]]=fc[i]+fc[i]*pr[j];}}
}
get_fc();
for(int i=2;i<maxn;i++){if(fc[i]>=maxn)continue;if(res[fc[i]]==-1)res[fc[i]]=i;
}
//res[i] 为任意数的约数和

//法一：（o(n)算法）  //求1到n的约数和的和// ∑(1->n)f(i) = sum = ∑ ⌊n/i⌋∗i  //约数和公式
for(i=1;i<=n;i++) sum+=(n/i)*i;   //法二（延伸自法一）   // 求1到n的约数和的和  <O(n)
以12为例，列出来是12,6,4,3,2,2,1,1,1,1,1,1
发现这里面有些数是重复的，考虑能不能把这些重复的一次算出来
把那些相同的值用区间来表示，那只要求出左右端点l,r来就好了
l比较好求，观察上面的数列，l 就是上一个r加1，初始l=1
那 r怎么求呢？其实很简单
r=n/(n/l)
l是那个数列的下标，所以(n/l)就是约数，那 r 就显然了，如果不知道为什么，那就再看一遍“1−n中有几个数是 d 的倍数”。ll sum(int n) {if(n<=1) return n;ll ans=0;for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1) {r=n/(n/l);ans+=(n/l)*(l+r)*(r-l+1)/2;}return ans;
}

题解 P2424 【约数和】 - zzlzk 的博客 - 洛谷博客 (luogu.com.cn) （法二证明）

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