（二十二）资产组合的有效边界、CML与最优配置

投资组合的可行集

以（二十一）中选出的4支股票为例，随机生成1000组权重，绘制投资组合的可行集（部分代码和变量在上一篇文章中）：

import matplotlib.pyplot as plt
rp=[]
volp=[]
for i in range(1000):x=np.random.rand(4)w=x/sum(x)rp.append(sum(r_mean*w))volp.append(np.sqrt(w*r_cov*w.reshape(4,1)))#矩阵相乘时写w@r_cov@w也可, 最后一个w自动转为列向量
plt.scatter(volp,rp)
plt.xlabel('波动率')
plt.ylabel('收益率')
plt.title('投资组合的可行集')
plt.grid()

在可行集内部，波动率一定时，理性的投资者会选择可行集最上方的点进行投资，实现收益最大化；收益率一定时会选择最左边的点进行投资，实现风险最小化。
注意在计算矩阵乘法w * r_cov * w.T时，只要其中一个元素是mat格式就能按照矩阵相乘（比如这里r_cov是mat），若全为array或dataframe时则只会对应元素相乘。最保险的方法是用矩阵内积符号@。

有效边界

有效边界是可行集的一条包络线，它表示在不同收益率下获得的最小风险组合或者在不同风险下获得的最高预期收益率组合。有效边界的求解是一个最优化问题：在权重之和等于1且权重均大于等于0的约束条件下，求组合的最小标准差，因此我们需要用到scipy.optimize函数。

from scipy import optimize
def min_f(w):optvar=np.sqrt(w*r_cov*w.reshape(4,1))return optvar
cons=({'type':'eq','fun':lambda w:sum(w)-1})
bnds=tuple((0,1) for i in range(len(w)))#生成含有4个(0,1)的元组
x=len(w)*[1/len(w)]#定义初始解
#数字乘列表表示列表元素重复相应次数，[0.25 for i in range(len(w))]也可
result=optimize.minimize(min_f,x,method='SLSQP',bounds=bnds,constraints=cons)
result
Out[2]: fun: 0.14445922866687042jac: array([0.14374754, 0.14490873, 0.14455363, 0.14453749])message: 'Optimization terminated successfully.'nfev: 36nit: 6njev: 6status: 0success: Truex: array([0.13933975, 0.05509104, 0.70363178, 0.10193743])
optrp=round(sum(r_mean*result.x),4)
optvolp=round((result.fun),4)#在format格式里保留小数也可
print('组合最小波动率为{}，对应的组合收益率为{}'.format(optvolp,optrp))组合最小波动率为0.1445，对应的组合收益率为0.2789

因此在组合波动率最小时，4支股票配置的权重为[0.13933975, 0.05509104, 0.70363178, 0.10193743]，此时组合的最小波动率为0.1445，对应的组合收益率为0.2789，对应于可行集图形最左边的点。下面画有效边界：

ry=np.linspace(optrp,0.7,100)#波动率在收益率的约束下求出，因此先定义收益率的范围(y轴)
vp=[]#需要计算的最小波动率列表(x轴)
for r in ry:con=({'type':'eq','fun':lambda w:sum(w)-1},{'type':'eq','fun':lambda w:sum(w*r_mean)-r})#增加了一个约束条件Σw*ri=r，即给定收益率下求最小标准差result2=optimize.minimize(min_f,x,method='SLSQP',bounds=bnds,constraints=con)vp.append(result2.fun)
plt.scatter(volp,rp)
plt.plot(vp,ry,'r-',label='有效边界')
plt.plot(optvolp,optrp,'ko',label='组合最小波动率点')#黑色圆点标记
plt.xlabel('波动率')
plt.ylabel('收益率')
plt.title('有效边界')
plt.legend()
plt.grid()

资本市场线（CML）

资本市场线是一条从无风险利率引出的与有效边界相切的切线，并且有且仅有一条，其表达式为E(R_P) = R_f + [(E(R_M) - R_f) / σ_M] × σ_P，所以求CML也是一个最优化问题，找出使得斜率(E(R_P) - R_f) / σ_P最大的股票权重w_i。假设无风险利率为2%：

rf=0.02
def k(w):premium=sum(w*r_mean)-rfsigmap=np.sqrt(w*r_cov*w.reshape(4,1))SR=premium/sigmapreturn (premium,sigmap,SR)
def SRmax(w):#定义我们要求最大值的函数return -k(w)[2]
result3=optimize.minimize(SRmax,x,method='SLSQP',bounds=bnds,constraints=cons)
#初始解、边界值和约束条件与之前设置的变量一样
result3
Out[4]: fun: -2.660173349004466jac: array([-0.10626441, -0.10623619, -0.1063377 ,  1.76733685])message: 'Optimization terminated successfully.'nfev: 56nit: 9njev: 9status: 0success: Truex: array([3.42106270e-01, 2.84399911e-01, 3.73493820e-01, 1.52906388e-16])
slope=-result3.fun
rm=sum(result3.x*r_mean)
sigmam=(rm-rf)/slope
print('市场组合预期收益率为{:.2%}，市场组合波动率为{:.2%}，夏普比率为{:.2f}'.format(rm,sigmam,slope))市场组合预期收益率为52.06%，市场组合波动率为18.82%，夏普比率为2.66

这样我们就找到了CML与有效边界的切点坐标，以及对应的斜率（夏普比率），此切点代表市场组合。下面绘制资本市场线：

cmlr=np.linspace(rf,0.7)#画资本市场线的收益率（y轴）数组
vcml=(cmlr-rf)/slope#画资本市场线的波动率（x轴）数组
plt.scatter(volp,rp)
plt.plot(vp,ry,'r-',label='有效边界')
plt.plot(optvolp,optrp,'ko',label='组合最小波动率点')
plt.plot(sigmam,rm,'ro',label='市场组合点')
plt.plot(vcml,cmlr,'k--',label='资本市场线')
plt.xlabel('波动率')
plt.ylabel('收益率')
plt.xlim(0,0.35)
plt.ylim(-0.1,0.8)
plt.title('投资组合理论的可视化')
plt.legend()
plt.grid()

在不允许借钱的情况下，新的有效边界为红点左边的直线+红点右边的曲线，左边表示持有一定比例的无风险资产和市场组合，右边表示只持有风险资产；可以借钱融资时，CML就是有效边界，红点右边的直线表示该投资者按照无风险利率融资并且全部投入到市场组合，运用了杠杆。如果存贷款利率不同则有效边界就得分为三段，在此不作讨论。

根据无差异曲线计算最优资产配置

若有一极度厌恶风险的投资者A=20，计算其最优资产组合：

y=(rm-rf)/(20*sigmam**2);y
Out[6]: 0.6624855494929857
print('A=20的风险厌恶者在无风险资产的投资比例为{:.2%},在这4支股票的投资权重分别为{:.2%}、{:.2%}、{:.2%}、{:.2%},\
实现的收益率为{:.2%}'.format((1-y),y*result3.x[0],y*result3.x[1],y*result3.x[2],y*result3.x[3],rf+y*(rm-rf)))A=20的风险厌恶者在无风险资产的投资比例为33.75%,在这4支股票的投资权重分别为23.41%、19.81%、23.04%、0.00%,实现的收益率为36.64%
U=rf+y*(rm-rf)-0.5*20*(sigmam*y)**2;U
Out[7]: 0.20321886442810244#该投资者的最大效用值
#在上图中加入该投资者的无差异曲线：
ux=np.linspace(0,0.35)
erc=rf+y*(rm-rf)
sigmac=sigmam*y
plt.plot(vp,ry,'r-',label='有效边界')
plt.plot(ux,U+10*ux**2,'b-',label='无差异曲线')
plt.plot(optvolp,optrp,'ko',label='组合最小波动率点')
plt.plot(sigmac,erc,'go',label='该投资者最优组合点')
plt.plot(sigmam,rm,'ro',label='市场组合点')
plt.plot(vcml,cmlr,'k--',label='资本市场线')
plt.xlabel('波动率')
plt.ylabel('收益率')
plt.xlim(0,0.35)
plt.ylim(-0.1,0.8)
plt.title('投资组合理论下的该风险厌恶者的最优资产配置')
plt.legend()
plt.grid()