1【练习】双寡头市场

解：两厂商独立同时做产量决策
两厂商的利润收益函数分别为：
u1(q1,q2)=q1P(Q)−c1q1=q1[10−(q1+q2)]−4q1=6q1−q1q2−q12u_1(q_1,q_2)=q_1P(Q)-c_1q_1=q_1[10-(q_1+q_2)]-4q_1=6q_1-q_1q_2-q_1^2u1(q1,q2)=q1P(Q)−c1q1=q1[10−(q1+q2)]−4q1=6q1−q1q2−q12
u2(q1,q2)=q2P(Q)−c2q2=q2[10−(q1+q2)]−4q2=6q2−q1q2−q22u_2(q_1,q_2)=q_2P(Q)-c_2q_2=q_2[10-(q_1+q_2)]-4q_2=6q_2-q_1q_2-q_2^2u2(q1,q2)=q2P(Q)−c2q2=q2[10−(q1+q2)]−4q2=6q2−q1q2−q22
为求得均衡策略，则求
{max⁡q1(6q1−q1q2−q12)max⁡q2(6q2−q1q2−q22)\left\{\begin{matrix} \underset{q_1}{\max}\left ( 6q_1-q_1q_2-q_1^2 \right)\\ \underset{q_2}{\max}\left ( 6q_2-q_1q_2-q_2^2 \right) \end{matrix}\right.⎩⎨⎧q1max(6q1−q1q2−q12)q2max(6q2−q1q2−q22)
把u1u_1u1看成是q1q_1q1的一元二次函数，利用求极值的方法，可求得使u1u_1u1实现最大值的产量q1q_1q1，即
q1=12(6−q2)=3−q22q_1=\frac{1}{2}\left( 6-q_2 \right)=3-\frac{q_2}{2}q1=21(6−q2)=3−2q2
把u2u_2u2看成是q2q_2q2的一元二次函数，利用求极值的方法，可求得使u2u_2u2实现最大值的产量q2q_2q2，即
q2=12(6−q1)=3−q12q_2=\frac{1}{2}\left( 6-q_1 \right)=3-\frac{q_1}{2}q2=21(6−q1)=3−2q1
将以上两式联立解之得
q1∗=q2∗=2q_1^*=q_2^*=2q1∗=q2∗=2
∴\therefore∴市场总商品量为Q=2+2=4Q=2+2=4Q=2+2=4
双方的收益（利润）为
2×(10−4)−2×4=42\times(10-4)-2\times4=42×(10−4)−2×4=4
即u1∗=u2∗=4u_1^*=u_2^*=4u1∗=u2∗=4
两厂商的利润和为
4+4=84+4=84+4=8

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