文章目录

科学计数法
二进制推广
计算机中的小数
EXCESS表示系统
特殊情况
举例（float）
- 普通情况最大正实数
- 普通情况最小负实数
- 普通情况最小正实数
- 特殊情况最大正实数

科学计数法

科学计数法想必大家都很熟悉了，往往通过如下形式表示一个实数：
± M × R E \plusmn M \times R^E ±M×RE

其中包含几个组成部分：

符号（sign）：最左边的正负号；
尾数（fraction）、有效位数（significand）：公式中的 M M M，常常是1到10之间的小数，体现了数字的精度；
基数（radix）：公式中的 R R R，表示进制，科学计数法使用的就是十进制，即 R = 10 R=10 R=10；
指数（exponent）：公式中的 E E E

比如一个十进制数字通过科学计数法表示为： 2.99792458 × 1 0 8 2.99792458 \times 10^8 2.99792458×108。而对于这种形式表示的任意一个十进制数字 d 1 . d 2 d 3 . . . d n × 1 0 E d_1.d_2d_3...d_n \times 10^E d1.d2d3...dn×10E，实际上都可以展开来计算具体的值： d 1 × 1 0 E + d 2 × 1 0 E − 1 + d 3 × 1 0 E − 2 + . . . + d n × 1 0 E − n + 1 d_1 \times 10^E + d_2 \times 10^{E-1} + d_3 \times 10^{E-2} + ... + d_n \times 10^{E-n+1} d1×10E+d2×10E−1+d3×10E−2+...+dn×10E−n+1

二进制推广

将上述概念和思想推广到二进制，也就是基数（radix） R = 2 R=2 R=2 的情况。一个实数一样可以通过类似科学计数法的形式用二进制表示，如 1.01011 × 2 2 1.01011 \times 2^2 1.01011×22。其具体值也就可以展开后换算到十进制： 1.01011 × 2 2 = 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 0 × 2 − 1 + 1 × 2 − 2 + 1 × 2 − 3 = 5.375 1.01011 \times 2^2 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} + 1 \times 2^{-3} = 5.375 1.01011×22=1×22+0×21+1×20+0×2−1+1×2−2+1×2−3=5.375

计算机中的小数

既然二进制实数也可以用 ± M × R E \plusmn M \times R^E ±M×RE 的形式来表示，计算机中就可以通过分别存储该形式中的各个部分来存储一个实数。由于确定使用二进制，也就是基数 R R R 固定为2，因此不必再额外耗费空间记录。二进制中也只有0或1，故尾数部分 M M M 也就可以固定表示为 M = 1. d 1 d 2 d 3 . . . M=1.d_1d_2d_3... M=1.d1d2d3...，即 M = 1 + F M=1+F M=1+F。因此二进制实数的表示形式可以简化为： ± 1. F × 2 E \plusmn 1.F \times 2^E ±1.F×2E。其中各个部分则按如下形式存储：

符号位 ± \plusmn ±	指数 E E E	小数 F F F
1字节	double类型11位，float类型8位	double类型52位，float类型23位

其中符号位只需要一个字节表示，0表示正、1表示负。指数部分由于有正负，故采用EXCESS表示系统，下面简单介绍一下该系统。

EXCESS表示系统

EXCESS表示系统主要目的是在不使用符号位的情况下也可以表示负数，具体思路就是以计数系统可表示的整体范围的中点作为0点，使用偏移量（Bias）来进行计数。偏移量的计算方法则为：当前值 - 中点值。如对于一个n位的二进制数，其能表示的范围为 0 → 2 n − 1 0 \to 2^{n}-1 0→2n−1，中点即为 2 n − 1 − 1 2^{n-1}-1 2n−1−1。中点值对应为0，小于中点的数值为负数，大于中点的值为正数。从而实现了不使用符号位也可以表示负数。

在float类型中指数部分有8位，可以表示的最大的数字为255（ 2 8 − 1 2^8-1 28−1），中点为127（ 2 7 − 1 2^7-1 27−1）；对于double类型，指数部分有11位，可以表示的最大的数字为2047（ 2 11 − 1 2^{11}-1 211−1），中点为1023（ 2 10 − 1 2^{10}-1 210−1）。

下面以float类型为例总结十进制数值、二进制数值和对应的EXCESS系统数值（偏移量）之间的关系：

十进制	二进制	EXCESS表示值
255	1111 1111	128 (255 - 127)
254	1111 1110	127 (254 - 127)
…	…	…
128	1000 0000	1 (128 - 127)
127 (中点值)	0111 1111	0 (127 - 127)
126	0111 1110	-1 (126 - 127)
…	…	…
1	0000 0001	-126 (1 - 127)
0	0000 0000	-127 (0 - 127)

特殊情况

上述仅为普遍的表现形式，但由于已经默认小数点前固定为1，即 M = 1 + F M = 1 + F M=1+F，则通过上述方法无法表示0，同时也无法处理正负无穷等特殊情况。故定义当指数部分 E E E 均为0或均为1时为特殊情况，即普通情况下指数部分仅可使用 ( m i n + 1 ) → ( m a x − 1 ) (min + 1) \to (max - 1) (min+1)→(max−1) 的范围。对于float类型来说即为 00000001 ( − 126 ) → 11111110 ( 127 ) 0000 0001 (-126) \to 1111 1110 (127) 00000001(−126)→11111110(127)。下面简单阐述一下两种特殊情况的处理方式。

第一种特殊情况（用于处理0及接近0的值）：当指数部分 E E E 全为0时，对应的值改为 m i n + 1 min + 1 min+1，对于float即为-126（-127+1）。同时小数点前变为0，即尾数部分 M = 0. F M=0.F M=0.F。此时小数部分 F F F全为0时即可表示0。

第二种特殊情况（用于处理正负无穷）:当指数部分 E E E 全为1时，表示无穷（NaN）。其中符号位为0时表示正无穷、符号位为1时表示负无穷。小数部分直接忽略。

举例（float）

接下来以float类型举几个例子，首先复习一下float类型各个部分的位数：

普通情况最大正实数

首先考虑普通情况下能表示的最大正实数，按上述的二进制表示形式，各个部分能取到的最大值分别为：

符号位 ± \plusmn ±	指数 E E E	小数 F F F
0	1111 1110	111…111 (23位)

二进制下为 1.111...111 × 2 127 1.111...111 \times 2^{127} 1.111...111×2127，展开后可以计算出十进制下对应的值为 ( 1 + 2 − 1 + 2 − 2 + ⋯ + 2 − 22 + 2 − 23 ) × 2 127 = 2 128 − 2 104 ≈ 3.4028 × 1 0 38 (1 + 2^{-1} + 2^{-2} + \cdots + 2^{-22} + 2^{-23}) \times 2^{127} = 2^{128} - 2^{104} \approx 3.4028 \times 10^{38} (1+2−1+2−2+⋯+2−22+2−23)×2127=2128−2104≈3.4028×1038

普通情况最小负实数

对于普通情况下能表示的最小负实数，只需要将符号位变为负号，其他部分仍然取最大值即可：

符号位 ± \plusmn ±	指数 E E E	小数 F F F
1	1111 1110	111…111 (23位)

二进制下为 − 1.111...111 × 2 127 -1.111...111 \times 2^{127} −1.111...111×2127，十进制下约等于 − 3.4028 × 1 0 38 -3.4028 \times 10^{38} −3.4028×1038

普通情况最小正实数

普通情况下可以表示的最小的正实数，除符号位外各个部分能取到的最小值分别为：

符号位 ± \plusmn ±	指数 E E E	小数 F F F
0	0000 0001	000…000 (23位)

二进制下为 1.0 × 2 − 126 1.0 \times 2^{-126} 1.0×2−126，十进制下约等于 1.1755 × 1 0 − 38 1.1755 \times 10^{-38} 1.1755×10−38

特殊情况最大正实数

普通情况无法表示0或接近0的实数，因此指数部分全为0时为特殊情况，用于表示0或接近0的实数。该情况下小数部分全为0时即表示0，而小数部分全为1即为该情况下能取到的最大值：

符号位 ± \plusmn ±	指数 E E E	小数 F F F
0	0000 0000 (-126)	111…111 (23位)

二进制下为 0.111...111 × 2 − 126 0.111...111 \times 2^{-126} 0.111...111×2−126，展开后计算出十进制下对应的值为 ( 0 + 2 − 1 + 2 − 2 + ⋯ + 2 − 22 + 2 − 23 ) × 2 − 126 = 2 − 126 − 2 − 149 (0 + 2^{-1} + 2^{-2} + \cdots + 2^{-22} + 2^{-23}) \times 2^{-126} = 2^{-126} - 2^{-149} (0+2−1+2−2+⋯+2−22+2−23)×2−126=2−126−2−149。由此可见这种特殊情况下的最大值与普通情况下的最小值 2 − 126 2^{-126} 2−126 相差也就只有 2 − 149 2^{-149} 2−149，从而保证了不同情况下取值的相对连续。

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