应用题分析思路--关注点分离

应用题分析思路–关注点分离

@(概率论)

在求解应用型概率题时，常常会因为模型尚未建立，关注点放在了概率求解上，二者交织在一起就很难厘清问题，因此拿出来强调一下。

一商店经销某种商品，每周进货量X与顾客对该种商品的需求量是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布。商店每售出一单位商品获利1000元；若需求超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利500元。试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。

分析：这类问题要分两个阶段求解。

利润方程
期望计算

首先得构造好我们需要对怎样的方程，表达式进行期望的求解，然后才是用概率论的知识进行相应的处理。

如果模型还未建好，只是想着该怎么计算概率，将会非常混乱，甚至方程写错也发现不了问题。

我们先不看期望，只看利润怎么表达，很显然是一个分段函数。

进货量是变动的！

设一周利润是R,则，在进的货够卖(X>Y)时，R = 1000Y;不够卖(X≤YX\leq Y)时,R = 1000X+500(Y-X) = 500(X+Y)

即：

R=g(X,Y)={1000Y,500(X+Y),X>YX≤Y

R = g(X,Y) = \begin{cases} 1000Y, & X > Y\\ 500(X+Y), & X \leq Y \end{cases}

到这里模型建立完毕。

ER=E(g(X,Y))=∫+∞−∞∫+∞−∞g(x,y)f(x,y)dxdy

ER = E(g(X,Y)) = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy

这时才去关注f(x,y).

由变量独立且均服从均匀分布，

f(x,y)={1100,0,x,y∈[10,20]其他

f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{100}, & x,y \in[10,20]\\ 0 ,& 其他 \end{cases}

从而：

ER=∫∫D11000y⋅1100dxdy+∫∫D2500(x+y)⋅1100dxdy

ER = \int\int _{D_1}1000y\cdot \frac{1}{100}dxdy \\ + \int\int _{D_2}500(x+y)\cdot \frac{1}{100}dxdy

注意到y = x对x,y取值范围的分割即可计算出ER=14166.67ER = 14166.67

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