堆的介绍

Heap是一种数据结构具有以下的特点：

1)完全二叉树

2)heap中存储的值是偏序

Min-heap: 父节点的值小于或等于子节点的值

Max-heap: 父节点的值大于或等于子节点的值

堆的存储

一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i–1)/2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

由于堆存储在下标从0开始计数的数组中，因此，在堆中给定下标为i的结点时：

(1)如果i=0，结点i是根结点，无父结点；否则结点i的父结点为结点(i-1)/2；

(2)如果2i+1>n-1，则结点i无左子女；否则结点i的左子女为结点2i+1；

(3)如果2i+2>n-1，则结点i无右子女；否则结点i的右子女为结点2i+2。

堆的操作：小根堆插入元素

插入一个元素：新元素被加入到heap的末尾，然后更新树以恢复堆的次序。

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中。需要从下网上，与父节点的关键码进行比较，对调。

堆的操作：删除小根堆堆的最小元素

按定义，堆中每次都删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，堆的元素个数-1，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。

堆的操作：创建堆

对于叶子节点，不用调整次序，根据满二叉树的性质，叶子节点比内部节点的个数多1.所以i=n/2 -1 ，不用从n开始。就是从最后一个有叶子结点的结点开始。

堆排序

如果从小到大排序，创建大堆建好之后堆中第0个数据是堆中最大的数据。取出这个数据，放在数组最后一个元素上，将当前元素数-1，再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最大的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时，数组元素就已经有序。

小根堆的实现

#include

using namespace std;

const int DefaultSize = 50;

template

class MinHeap

{

public:

//构造函数：建立空堆

MinHeap(int sz=DefaultSize)

{

maxHeapSize = (DefaultSize < sz) ? sz : DefaultSize;

heap = new T[maxHeapSize];

currentSize = 0;

}

//构造函数通过一个数组建立堆

MinHeap(T arr[],int n)

{

maxHeapSize = (DefaultSize < n) ? n : DefaultSize;

heap = new T[maxHeapSize];

for(int i=0;i

{

heap[i] = arr[i];

}

currentSize = n;

int currentPos = (currentSize - 2) / 2;//找最初调整位置:最后分支结点

while (currentPos>=0)//自底向上逐步扩大形成堆

{

siftDowm(currentPos, currentSize - 1);//局部自上向下下滑调整

currentPos--;//再向前换一个分支结点

}

}

//将x插入到最小堆中

bool Insert(const T& x)

{

if(currentSize==maxHeapSize)

{

cout << "Heap Full!" << endl;

return false;

}

heap[currentSize] = x;//插入

siftUp(currentSize);//向上调整

currentSize++;//堆计数+1

return true;

}

bool RemoveMin(T& x)

{

if(!currentSize)

{

cout << "Heap Empty!" << endl;

return false;

}

x = heap[0];//返回最小元素

heap[0] = heap[currentSize - 1];//最后元素填补到根结点

currentSize--;

siftDowm(0, currentSize - 1);//自上向下调整为堆

return true;

}

void output()

{

for(int i=0;i

{

cout << heap[i] << " ";

}

cout << endl;

}

protected:

//最小堆的下滑调整算法

void siftDowm(int start, int end)//从start到end下滑调整成为最小堆

{

int cur = start;

int min_child = 2 * cur + 1;//先记max_child是cur的左子女位置

T temp = heap[cur];

while (min_child <=end)

{

if (min_childheap[min_child + 1])//找到左右孩子中最小的一个

min_child++;

if(temp<=heap[min_child])

break;

else

{

heap[cur] = heap[min_child];

cur = min_child;

min_child = 2 * min_child + 1;

}

}

heap[cur] = temp;

}

//最小堆的上滑调整算法

void siftUp(int start)//从start到0上滑调整成为最小堆

{

int cur = start;

int parent = (cur - 1) / 2;

T temp = heap[cur];

while (cur>0)

{

if(heap[parent]<=temp)

break;

else

{

heap[cur] = heap[parent];

cur = parent;

parent = (parent - 1) / 2;

}

}

heap[cur] = temp;//回放temp中暂存的元素

}

private://存放最小堆中元素的数组

T* heap;

int currentSize;//最小堆中当前元素个数

int maxHeapSize;//最小堆最多允许元素个数

};

//------------------------主函数-------------------------

int main(int argc, char* argv[])

{

MinHeap h;

h.Insert(8);

h.Insert(5);

h.Insert(7);

h.Insert(9);

h.Insert(6);

h.Insert(12);

h.Insert(15);

h.output();

int out;

cout << static_cast (h.RemoveMin(out)) << endl;

h.output();

int arr[10] = { 15,19,13,12,18,14,10,17,20,11 };

MinHeap h1(arr,10);

h1.output();

}

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