内容概述

1，堆结构就是用数组实现的完全二叉树结构
2，完全二叉树中如果每棵子树的最大值都在顶部就是大根堆
3，完全二叉树中如果每棵子树的最小值都在顶部就是小根堆
4，堆结构的heaplnsert与heapify操作
5，堆结构的增大和减少
6，优先级队列结构，就是堆结构

1. 堆的定义

首先需要明确的是，堆是完全二叉树,完全二叉树不一定是堆（因为堆一定是排好序的【大根或者小跟】，完全二叉树就不一定了，不一定是堆）

这里有一篇文章，对堆描述的非常好【点击此处】

我们需要知道的是，堆是有大根堆和小根堆的，只有这两种特殊的完全二叉树才能称为堆

大根堆是指，每个根节点一定比其子节点大；小根堆是指，每个根节点一定比其子节点小
比方：

这个就是大根堆

根据这个特性，我们可以很快的拿到最大值或者最小值（均在根节点处）

但是，大根堆或者小根堆的数组，不一定是已经有序的，想变成有序的数组，还需要继续堆排序

2. 堆的数学属性

i是数组的某元素下标，现在需要知道该元素在堆中的父叶或者左子叶、右子叶的位置

父叶：parent(i) = (i - 1)/2
左子叶：left(i) = 2i + 1
右子叶：right(i) = 2i + 2

这是用的最多的堆的数学属性

3. 大根堆的插入

如果需要在一个大根堆里插入一个数，让其继续变成大根堆，应该怎么实现呢？
这就是HeapInsert过程

HeapInsert过程
当往一个大根堆里放入数的时候，先通过公式父叶：parent(i) = (i - 1)/2找到该元素对应的父节点，然后将该元素与父叶比较，如果该元素大，则与父元素交换（后面如果又比该父叶的父叶大，则继续交换）；如果父元素大，则该元素不掉换位置

程序：

public static void HeapInsert(int[] arr, int index){//判断插入的元素与其父叶的大小，大则交换while (arr[index] > arr[(index - 1) / 2]){Swap(arr, index, (index - 1) / 2);//交换元素的自定义方法index = (index - 1) / 2;//下标换为其父叶坐标，继续判定}}

4. 大根堆的取元素

因为堆的根节点要么最大，要么最小，经常需要取出其元素的值，然后重新排序成大根堆的结构，这个过程叫做Heapify

Heapify过程：
在某个堆中，取出某根节点（父叶），方法是将该元素与堆数组中最后一个元素互换后，比较交换后元素与根节点的左、右节点的最大值比较，叶大，则与叶交换；叶小，则不变

程序：

//取大根堆的某一元素后，把剩下的元素依然组成大根堆
//方法中的参数含义：arr-数组；index-已经交换后的元素下标；size-数组的长度public static void Heapity(int[] arr, int index, int size){//左子叶的下标int left = index * 2 + 1;//如果该父叶的左子叶存在，那么继续，不存在就跳出while (left < size){//右子叶存在，且找出左、右子叶的最大值的下标int largest = left + 1 < size && arr[left + 1] > arr[left] ? left + 1 : left;//将该下标对应的元素与父子叶对应的元素比较大小，当该下标对应的元素大于父子叶对应的元素时，交换元素argest = arr[largest] > arr[index] ? largest : index;//当该下标对应的元素小于或者等于父子叶对应的元素时，跳出循环if (largest == index){break;}//交换父子叶元素与最大值子叶下标元素的值Swap(arr, largest, index);//继续判断，此时的index下标变成刚刚的最大的子叶元素下标index = largest;//重新给左子叶赋值left = index * 2 + 1;}}

5. 大根堆的形成

1.先让整个数组都变成大根堆结构，建立堆的过程:
从上到下的方法，时间复杂度为0(N*l ogN)
从下到上的方法，时间复杂度为O(N)

2.把堆的最大值和堆末尾的值交换，然后减少堆的大小之后，再去调整堆，一直周而复始,时间复杂度为O(N*logN)

3.堆的大小减小成0之后，排序完成

方法1：
将数组每一个元素进行HeapInsert过程，直至所有元素使用完

代码;

//大根堆的形成public static void HeapForBig(int[] arr){if (arr == null || arr.Length < 2){return;}for (int i = 1; i < arr.Length; i++){HeapInsert(arr, i);}}

方法2：
这种方法会快一些，用Heapify操作

 public static void HeapForBig(int[] arr){if (arr == null || arr.Length < 2){return;}//原理：//每次从最底层比较，依次往上，但是最底层下面没有数，所以节约了此处的时间复杂度，往上一层，则调用heapify过程，从子叶找最大值与其比较，再往上一层也是如此for (int i = arr.Length-1; i>=0; i--){Heapity(arr,i,arr.length)}}

6. 堆排序（使用大根堆，从小到大排序）

把堆的最大值和堆末尾的值交换，然后减少堆的大小之后，再去调整堆，一直周而复始,时间复杂度为O(NlogN)，也就是说，堆排序时间复杂度为O(NlogN)

首先将数组变成大根堆的形式，然后再把最上面的根节点与最后面的叶节点互换，数组元素移除最后一个并进行Heapify操作；然后再将上面的根节点与最后面的叶节点互换，数组元素移除最后一个并进行Heapify操作…直至数组中只剩一个元素

代码：

public static void HeapSort(int[] arr){//首先进行大根堆组合if (arr == null || arr.Length < 2){return;}HeapForBig(arr);//数组初始长度int size = arr.Length;//将第0位的数组元素与最后一位进行交换，并size长度自减Swap(arr, 0, --size);//如果数组还有剩下的数，则再进行此操作while (size > 0){Heapity(arr, 0, size);Swap(arr, 0, --size);}}

7. 小根堆的插入

原理是和大根堆的插入是一样的
代码：

 //插入数、按小根堆组合public static void HeapInsertForLittle(List<int> arr, int index){while (arr[index] < arr[(index - 1) / 2]){Swap2(arr, index, (index - 1) / 2);index = (index - 1) / 2;}}

8. 小根堆的取元素

需要实现的目的是，每取走一个数（拿一个数与其交换），剩下的数仍然是小根堆

代码：

//取小根堆的某一元素后，把剩下的元素依然组成小根堆public static void HeapifyForLittle(List<int> arr, int index, int size){int left = index * 2 + 1;while (left <= size){var maxindex = (left + 1) <= size && (arr[left] < arr[left + 1]) ? left : left + 1;var t = arr[maxindex] < arr[index] ? maxindex : index;if (t == index){break;}//交换数组元素Swap2(arr, index, maxindex);left = index * 2 + 1;}}

9. 小根堆的形成

 //组成小根堆public static void HeapForLittle(List<int> arr){if (arr == null || arr.Count < 2){return;}for (int i = 1; i < arr.Count; i++){HeapInsertForLittle(arr, i);}}

10. 运用堆的算法题

题目：
已知一个几乎有序的数组，几乎有序是指，如果把数组排好顺序的话，每个元素移动的距离可以不超过k，并且k相对于数组来说比较小。请选择一个合适的排序算法针对这个数据进行排序，从小到大排序

思路：
可以看出的是，假设数组第0位现在需要放最小值，因为几乎有序，所以其值一定在[0，k]之间，在这里面找数组最小值即可，也就是我们取的小根堆最上面的值即可；然后现在数组第1位需要放全数组的次小值，于是将数组[1，k+1]进行小根堆排序，小根堆最上面的根节点就是整个数组的次小值…

程序：

class Program{static void Main(string[] args){List<int> t1 = new List<int>() { 5, 1, 3, 2, 6, 4, 9 };Heap.SortArrayDistanceLessK(t1, 4);Console.ReadLine();}}class Heap{//已知一个几乎有序的数组，几乎有序是指，如果把数组排好顺序的话，每个元素移动的距离可以不超过k，并且k相对于数组来说比较小。请选择一个合适的排序算法针对这个数据进行排序，从小到大排序。//可以看出的是，假设数组第0位现在需要放最小值，因为几乎有序，所以其值一定在[0，k]之间，在这里面找即可，那么我们取的小根堆最上面的值即可//假定给定的K=4，作为测试public static void SortArrayDistanceLessK(List<int> arr, int k){List<int> replace = new List<int>();List<int> have = new List<int>();//int[] replace = {ar}for (int i = 0; i < arr.Count; i++){if (replace.Count==0){for (int j = 0; j <= k; j++){replace.Add(arr[j]);}}if (k+i+1<arr.Count){HeapForLittle(replace);have.Add(replace[0]);replace.Remove(replace[0]);replace.Add(arr[k + i+1]);}else if(replace!=null){HeapForLittle(replace);have.Add(replace[0]);replace.Remove(replace[0]);}else{return;}}for (int z = 0; z < arr.Count; z++){Console.WriteLine(have[z]);}}//组成小根堆public static void HeapForLittle(List<int> arr){if (arr == null || arr.Count < 2){return;}for (int i = 1; i < arr.Count; i++){HeapInsertForLittle(arr, i);}}//插入数、按小根堆组合public static void HeapInsertForLittle(List<int> arr, int index){while (arr[index] < arr[(index - 1) / 2]){Swap2(arr, index, (index - 1) / 2);index = (index - 1) / 2;}}//交换元素public static void Swap2(List<int> arr, int i, int j){var t = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = t;}}

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